※ 引述《WINDHEAD (Grothendieck吹頭)》之銘言： : 所謂的形式邏輯是二十世紀的產物。 哈哈，這句話說得很好，一語戳破很多人對邏輯系統的謬思 不過精確來說，形式邏輯的發展年代，是十九世紀後葉由 Frege 所開啟的 把數學證明中所常用到的 "量詞" (for any, exist) 形式化 在 Frege 之前，只有三段論被形式化 但以數學證明而言，只有三段論是遠遠不夠用的 至於像反證法，歸納法等，在現代形式邏輯發展之前 仍有其它學派不承認其合法性 (比如，直覺主義學派就不承認反證法的合法性 數學證明過程中，若用到反證法，則視為無效證明) : 所有的數學史書，提到公理化的時候，如果不談二十世紀，那麼說來說去就只那一個 : 歐幾里得，仿似這中間的數學家都鬼隱了一樣。 : 為什麼？ 相較於數學各支派的發展 形式邏輯的發展年代，算是非常晚的，從十九世紀中後葉才開始 不過論起數學各支派的公理化風潮 可以朔至十九世紀中葉，Weierstrass 發展出微積分的 ε-δ 證明法開始 即使微積分於十七世紀由牛頓-萊布尼茲所發展出的一套強而有力的工具 但到十九世紀的 ε-δ 證明法出現前的這兩百年之間 微積分的邏輯基礎其實相當薄弱 因為這期間沒有人有辦法去處理諸如無窮小無窮多這種觸及邏輯層面的問題 (請參考 Zeno paradox) 即使微積分在當時的邏輯基礎很薄弱 但作為一個強力又有效的工具 這兩百年來也開了大花，創造出無數的定理與理論 由於長久以來，微積分是建構在薄弱的邏輯基礎上 所以不承認積分合理性的數學家時有所聞 直到十九世紀中葉 Weierstrass 的 ε-δ 證明法 微積分的邏輯基礎才算真正穩固 同時也讓大家認識到公理化的威力，開啟了數學各支派的公理化運動 比如，Dedekind 將實數公理化，Peano 將數論公理化 還有 Hilbert 將古老的歐氏幾何公理化 (歐幾里得時代的歐氏幾何公理其實是邏輯非常不嚴謹的公理 真正嚴謹的歐氏幾何公理系統是 1900 年由 Hilbert 所建立的) 一步一步往更基礎走下去 進行到了集合論公理化時，卻遇上大麻煩 (比如很有名的羅素誖論) 由於同一時間，Frege 開始的現代形式邏輯也正在發展 集合論公理化所遇上的麻煩，得藉由形式邏輯才可有系統的處理 到後來就發展出各種的集合論公理系統 如 ZFC 集合論公理系統，NBG 集合論公理系統，.... 等 現今數學界所使用的集合論公理系統，如不特別提及，一般是指 ZFC 公理系統 當數學各支派大成致完成公理化之後 邏輯系統本身也冒出許多屬於自身的問題 比如，如何判定邏輯系統的有效性，完備性等等問題 這些問題，一直要到 1930 年代 出現哥德爾完備性定理，以及很有名的哥德爾不完備定理之後 大家才真正意識到，邏輯系統本身也是有漏洞的 (存在不可証明之真命題) 從這個時間點開始 數理邏輯又衍生出証明論，模型論，遞歸論，...等等各支派 而且也促成近代計算機的發展 : 歐幾里得雖然創造了公理系統的論證方法，但那只是確立了數學論證的基本的遊戲規則， : 離所謂的邏輯還很遠。　如果肯仔細去審視數學證明中的每個步驟，會發現，就算給了 : 公理公設，你仍須想辦法說一套故事來連結到欲證明的性質。公理系統只是最低要求， : 絕非工具。　所以一直到十九世紀，這中間的數學家們比的是說故事的能力，比的是 : 巧思與創見，比的是計算的苦功，比的是誰有辦法說服大家。 : 這才是十九世紀以前數學發展的基調。 : 我們現在教科書上關於分析學,代數,幾何,數論的數學敘述，幾乎都是經過二十世紀 : 集合論風潮修飾後的樣貌。 附和這一段話 其實數學某支派的發展 (諸如計算技巧的發展以及理論的發展) 與該支派的邏輯化公理化 這兩者本身並不相同 並不是一定要先邏輯化公理化之後，才會發展相關的計算技巧與各種定理 剛剛所舉的微積分就是一個最好的例子，兩者的時間差大概兩百年左右 甚至與工程及物理學相關的數學 很多是先發展計算技巧，後邏輯化公理化的例子比比皆是 十九世紀之前就不提了，例子比比皆是 二十世紀之後，也有大家所熟知的例子 比如工程上使用的 Heaviside delta function / 物理的 Dirac delta function 都是工程師與物理學家用到很爽之後，數學上才出現泛函理論將之嚴謹化 而理論物理的量子場論，使用微擾法出現無窮級數發散的問題 物理學家自己用一種微積分教授會打零分的計算方法 用了約三十年之後，才由物理學家自己發展出重整化群嚴謹化 : 如果專以數學發展本身而不考慮以政治史分類的話，我傾向將1900以前稱作古典數學， : 1900至1950為近代數學，1950以後為現代數學。 --

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