※ 引述《WINDHEAD (Grothendieck吹头)》之铭言： : 所谓的形式逻辑是二十世纪的产物。 哈哈，这句话说得很好，一语戳破很多人对逻辑系统的谬思 不过精确来说，形式逻辑的发展年代，是十九世纪後叶由 Frege 所开启的 把数学证明中所常用到的 "量词" (for any, exist) 形式化 在 Frege 之前，只有三段论被形式化 但以数学证明而言，只有三段论是远远不够用的 至於像反证法，归纳法等，在现代形式逻辑发展之前 仍有其它学派不承认其合法性 (比如，直觉主义学派就不承认反证法的合法性 数学证明过程中，若用到反证法，则视为无效证明) : 所有的数学史书，提到公理化的时候，如果不谈二十世纪，那麽说来说去就只那一个 : 欧几里得，仿似这中间的数学家都鬼隐了一样。 : 为什麽？ 相较於数学各支派的发展 形式逻辑的发展年代，算是非常晚的，从十九世纪中後叶才开始 不过论起数学各支派的公理化风潮 可以朔至十九世纪中叶，Weierstrass 发展出微积分的 ε-δ 证明法开始 即使微积分於十七世纪由牛顿-莱布尼兹所发展出的一套强而有力的工具 但到十九世纪的 ε-δ 证明法出现前的这两百年之间 微积分的逻辑基础其实相当薄弱 因为这期间没有人有办法去处理诸如无穷小无穷多这种触及逻辑层面的问题 (请参考 Zeno paradox) 即使微积分在当时的逻辑基础很薄弱 但作为一个强力又有效的工具 这两百年来也开了大花，创造出无数的定理与理论 由於长久以来，微积分是建构在薄弱的逻辑基础上 所以不承认积分合理性的数学家时有所闻 直到十九世纪中叶 Weierstrass 的 ε-δ 证明法 微积分的逻辑基础才算真正稳固 同时也让大家认识到公理化的威力，开启了数学各支派的公理化运动 比如，Dedekind 将实数公理化，Peano 将数论公理化 还有 Hilbert 将古老的欧氏几何公理化 (欧几里得时代的欧氏几何公理其实是逻辑非常不严谨的公理 真正严谨的欧氏几何公理系统是 1900 年由 Hilbert 所建立的) 一步一步往更基础走下去 进行到了集合论公理化时，却遇上大麻烦 (比如很有名的罗素誖论) 由於同一时间，Frege 开始的现代形式逻辑也正在发展 集合论公理化所遇上的麻烦，得藉由形式逻辑才可有系统的处理 到後来就发展出各种的集合论公理系统 如 ZFC 集合论公理系统，NBG 集合论公理系统，.... 等 现今数学界所使用的集合论公理系统，如不特别提及，一般是指 ZFC 公理系统 当数学各支派大成致完成公理化之後 逻辑系统本身也冒出许多属於自身的问题 比如，如何判定逻辑系统的有效性，完备性等等问题 这些问题，一直要到 1930 年代 出现哥德尔完备性定理，以及很有名的哥德尔不完备定理之後 大家才真正意识到，逻辑系统本身也是有漏洞的 (存在不可证明之真命题) 从这个时间点开始 数理逻辑又衍生出证明论，模型论，递归论，...等等各支派 而且也促成近代计算机的发展 : 欧几里得虽然创造了公理系统的论证方法，但那只是确立了数学论证的基本的游戏规则， : 离所谓的逻辑还很远。　如果肯仔细去审视数学证明中的每个步骤，会发现，就算给了 : 公理公设，你仍须想办法说一套故事来连结到欲证明的性质。公理系统只是最低要求， : 绝非工具。　所以一直到十九世纪，这中间的数学家们比的是说故事的能力，比的是 : 巧思与创见，比的是计算的苦功，比的是谁有办法说服大家。 : 这才是十九世纪以前数学发展的基调。 : 我们现在教科书上关於分析学,代数,几何,数论的数学叙述，几乎都是经过二十世纪 : 集合论风潮修饰後的样貌。 附和这一段话 其实数学某支派的发展 (诸如计算技巧的发展以及理论的发展) 与该支派的逻辑化公理化 这两者本身并不相同 并不是一定要先逻辑化公理化之後，才会发展相关的计算技巧与各种定理 刚刚所举的微积分就是一个最好的例子，两者的时间差大概两百年左右 甚至与工程及物理学相关的数学 很多是先发展计算技巧，後逻辑化公理化的例子比比皆是 十九世纪之前就不提了，例子比比皆是 二十世纪之後，也有大家所熟知的例子 比如工程上使用的 Heaviside delta function / 物理的 Dirac delta function 都是工程师与物理学家用到很爽之後，数学上才出现泛函理论将之严谨化 而理论物理的量子场论，使用微扰法出现无穷级数发散的问题 物理学家自己用一种微积分教授会打零分的计算方法 用了约三十年之後，才由物理学家自己发展出重整化群严谨化 : 如果专以数学发展本身而不考虑以政治史分类的话，我倾向将1900以前称作古典数学， : 1900至1950为近代数学，1950以後为现代数学。 --

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