身為一個數學系的學生，看到這個討論串忍不住手癢上發表我的看法 讀了數學系後，才發現我是如此的虛弱所以以下言論有可能會有錯誤的地方 請各位版友多多包函。 -------------------------------------------------------------------- (數的演變) 數學主要研究的主題是"數和形"(數字和形狀) 發展到近代主要會用兩種方式來研究數字和形狀，一種是分析，一種是代數 在"數字"的方面關注的有兩點，一個是數系，一個是運算 而數系一直為了運算的需求而拓展，可以視為把數線填滿的過程… 從一開始的自然數(1 2 3 4 …)和加法的概念 這兩個東西應該是人類本能就會意 識到的。 自然數在做加法運算是有封閉性，所以在做加法時，自然數不會出啥問題 但當人類意識到扣掉(減的概念也就是加法的反運算)時，就發現 幹糟了… 1-1是什麼鬼東東？ 所以為了滿足運算上的需要，進而有了0(沒有東西)的概念，使 1-1=0 2-2=0 … 那1-2又是什麼洨？ 1-2 = 1-1-1 = 0-1？？？ ~崩潰~ 為了解決這個問題只好再次發揮數學家最強的嘴炮---我定義 把比零少一定為負一，然後負一長這樣-1(這是為了方便起見)，之後就依此類推 這樣就定出了負整數。 自然數、零和負整數的合體就是整數了。人類發現整數對加減法有封閉性，不會 出現什麼不可思議的事 (某個集合對某個運算有封閉性就是集合中的任兩個元素做此運算的結果還是此集合 的元素。這是個很好的運算性質，因為你不會算著算著突然發現不知道答案是 什麼鬼東西，而且算出的答案還可以接combo，繼續跟集合的其他元素做運算) 當人類意識到乘這件事時，就是算數上一大跳躍性的進步，而整數對乘法依然有封閉 性(~感動)。但有乘法運算，就總有一天會有人發現可以倒著算---乘法反運算(除法) 這時出現了兩個很大的問題 1除以0 和 1除以2 ~青筋~ 1除以0 這件事數學家怎麼想都覺得毛毛的不對勁，突然想起一句明言「不要問，很恐怖」 「什麼你還要問…好啦好啦，我定義這件事無意義啦！ 什麼你不服！！」 這時就要數學家就會大聲的說「I am the law... 」 (有人會覺得很奇怪 1/0 不是無限大嗎？怎麼會無意義？ 要知道是後來因為有了極限 的極念才能定義 1/0 = lim 1/n, 然後lim 1/n=∞ 所以 1/0 =∞。在沒有極限的極念 n->0+ n->0+ 之前是無法理解 1/0 是什麼洨，所以才定義 1/0 為無意義) 極限的概念必需用分析的語言(δ 和 ε的那套鬼東東)來描述才不會發生不可思議的事情 之後會提到。 1除以2 就是把一分成兩份取其中一份的意思，整數中沒有一個數有這種概念那就再 次定義出一種新的數---有理數，也就是可以寫成某兩個整數比的數。 哇哈哈！這下加減乘除都沒有問題啦！而且因為有理數有稠密性(任兩個有理數之 間一定存在某個有理數)，所以會很自然的認為數線已經被補完了。也就是說任何數都可 以用某兩整數的比來表示，顯然我們的畢哥就是這件事的信徒之一。 但是畢哥的弟子吸仆死很不給面子地用幾何的方法證明根號2不是有理數… 得罪了畢哥還想跑，仆街吧！結果吸仆死就仆街而死了。 在大學的數學系，有一門很重的主修叫高等微積分(高等到完全看不出來 跟微積分有任何關系)的前三分之一本就在講數線(實數)的最終補完計畫，也就是所 謂的完備性公設 註 =====以下說明什麼是完備性公設及其應用，會用到一些數學，我盡量講得簡單一點====== 完備性公設： 任何非空的實數子集S，若其上界存在，則存在一實數b為其最小上界 這裡稍微提一下啥是上界？啥是最小上界(supremum) 若有一個實數M，大於等於的S裡的任何元素，那M就是S的其中一個上界(上界不會只 有一個)，所有S的上界的最小值就是最小上界supremum。 舉個例：區間 (0,1) 是個非空的實數子集，且有無限多個元素。 1和比1大的任何數都是他的上界，而這些上界中最小的數是1，故sup(0,1)=1 (補1:有限集合一定有上界，但無限集合是"不一定"有上界 補2:最小上界"不一定"會在原來的集合中) 可能有人會覺得完備性公設不是本來就這樣嗎？根本就是句廢話。數學的公設大部份都看 起來像句廢話，但就是要把這些大家都直覺上同意的事當做公設，然後利用邏輯從這些廢 話中架構出整個數學奇妙的世界。因為必需要從這些所有人都同意的廢話出發，大家才會 有對話的根基，也才能得出相同的結論(只要你的邏輯沒bug的話)。 你可能會問說完備性公設可以幹麻？可以吃嗎？ 那我現在就在舉一個例，利用完備性公設來證明「自然數有無限個」這個命題。 你可能會說靠！這還用證明？這不是本來就這樣嗎？ 這就是為什麼數學是很好的邏輯訓練的原因。一個嚴謹的證明必需要把自己和讀者當做 一個只有內建邏輯系統的機器，且除了公設以外什麼都不知道，不能把一些經由後天學 習的知識拿來用。你也不可能用一個一個把自然數列出來的方法去證明自然數是無限個 ，因為不管你列到多大的正整數，都不能確定自然數有無限個。我們會覺得列不完所以 有無限個，只是我們的感覺(就是鄉民口中的"我覺得")，根本不能當嚴謹的證明。 所以要用歸謬證法去證明(反證法只是歸謬證法的一種，之後會說明啥是歸謬證法) 證明如下： 假設 N是所有自然數的集合，若自然數為有限個，則N為有限集，故N有上界。 根據完備性公設，必存在一個實數n=supN。對n取高斯函數，保證[n]為≦n的最大整數 所以[n]屬於N，則[n]+1也必屬於N。但[n]+1 > n，可是又因為n是N的最小上界 所以n > [n]+1，這時產生了一個不可斯議的矛盾。 所以N為有限集是個錯誤的假設，故N為無限集才是正確的。 現在來談一下什麼是歸謬證法。很多人對"反證法"這三個字很耳熟，也有聽過什麼 若p則q 等價於 非q則非p (等價就是這兩個命題會同時為真或同時為偽，不會有一 真一偽的情況發生)，也以為非q則非p就是反證法。 大多數的高中以下的老師都只是告訴我們這件事，叫我們背起來，也沒說為什麼這樣就 可以證明一個命題是真的。 而大學的數學系教授也不會教，因為他們認為若你連這個都悟不出來，大概也沒什麼念 數學的天份，所以也懶得教。 反證法是歸謬法的一種，所以我們必需要先搞懂歸謬法是啥鬼東東。 今天有個命題 p->q ，若要用歸謬法證明些命題為真的話。通常第一步是先否定此命題 ~(p->q)，把原題否定之後會變成p->~q，然後就想盡辦法搞出一個矛盾就成功了，這一步 就是考驗數學功力、技巧和天份的地方。 什麼叫想盡辦法弄出矛盾，舉個例：p->~q->r->t->s->m->n。從~q之後就是你用各種方法 推導出來的，只要是不違反邏輯，不違反原命題所在的公設系統都可以。 只要發現 p, ~q, r, t, s, m, n 其中某兩個互相矛盾就搞定了。而若在越少步就發現有 矛盾，代表這個證明越漂亮。 以上只是歸謬法的操作方式，其背後的精神是，把所有可能的事分為兩個大類(最常是分 成兩類，但要分成多少類都行，只要是有限個大類)，彼此之間不能有交集，且聯集就是 所有可能的事(這樣才能保證沒有少考慮到的地方，以免出現bug)，然後發現某件事不在 其中一個大類中，那就一定在另一個大類。 簡單來說，今天有個蛋糕，在製做的過程中不小心地掉進了一個硬幣，可是卻是在蛋糕 烤好的時候才發現。而你拿一把刀，一刀切下去把蛋糕分成A、B兩塊(假設沒切到硬幣) 然後有個人要你證明硬幣在A塊裡頭，但又不準你碰A塊蛋糕，要保持A塊蛋糕完好無缺， 那最合理可行的辦法就是把B塊蛋糕弄碎檢查看硬幣有沒有在裡面，若沒有的話，則硬幣一 定就是在A中。 補充一個重要的邏輯觀念，一個正確無矛盾的邏輯推論，不保證結論為真，因為有可能 前題是假的。舉個例：若以「會吃會睡的是豬」為前題，因為男人會吃會睡，所以得到 「男人是豬」這個結論。在這個邏輯推導是正確無矛盾的，但是很顯然結論是錯的(可能 有人會覺得是對的XDDDDD) 可是若一個正確的邏輯推論出現了矛盾，那代表前題一定是錯的。 為了不找自己的麻煩，通常我們是用二分法去分類，但若又要保證這兩個分類無交集 且聯集為整個宇集(所有的事件)的最簡單辦法，就是把所有事件分成 p->q 與 ~(p->q) 像要把人類分成兩大類，不能分成男人和女人，因為會陰陽人不是男人也不是女人，可 卻是人類，所以只要把人類分成，男人和非男人就可以，因為陰陽人自動會歸入非男人的 那一類。那~(p->q)又是什麼鬼？ 我可以直接告訴你 ~(p->q) 就是 p->~p 那可能會有人抗議說為什麼不是 ~p->p 或是 ~p->~p？ p->q 代表若p發生了，保證q會發生 (注意p->q不保證q在p之後發生，有可能在之前也 有可能同時，舉例：嬰兒初生->媽媽初生，代表嬰兒初生的話，保證嬰兒的媽媽一定也初 生，但嬰兒的媽媽初生了，不保證嬰兒一定初生，而嬰初生卻一定是在媽媽初生之後)。 而否定p->q，就是在原來的p發生條件下卻發生不是q的事件。所以~(p->q) 就是 p->~p 那為什麼反正法是歸謬法的一種？ 我們已知反證法在形式上是去推論出~q->~p就證成了。 若用歸謬法來表示就是 ~(p->q) <=> p->~q->~p 波浪底線是反證法做的 而 p 發生居然保證 ~p 發生，這當然是個嚴重的矛盾，故在歸謬法中得證。 =============================以上是一些數學小常識============================= 這時就不得不提江湖人稱數學之王(ㄅㄚ ㄉㄢˋ)，搞死人不償命的高斯… ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~的弟子 也就是德國數學家理察戴德金(有沒有講德語的數學都很好的八卦)搞出了一個定義實數 (有理數和無理數)的方法。 ================以下為火星文==看不懂請服用翻譯蒟蒻=========================== 假設給定某種方法，把所有的有理數分為兩個集合，A和B，A中的每一個元素都小於B中的 每一個元素，任何一種分類方法稱為有理數的一個分割。 對於任一分割，必有3種可能，其中有且只有1種成立： 1. A有一個最大元素a，B沒有最小元素。例如A是所有≦1的有理數，B是所有>1的有理數 2. B有一個最小元素b，A沒有最大元素。例如A是所有<1的有理數，B是所有≧1的有理數 3. A沒有最大元素，B也沒有最小元素，例如A是所有負的有理數，零和平方小於2的正 有理數，B是所有平方大於2的正有理數。顯然A和B的並集是所有的有理數，因為平 方等於2的數不是有理數。 注意：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因為這樣就有一個有理數(a+b)/2 不存在於A和B兩個集合中，與A和B的聯集是所有的有理數矛盾 第3種情況，戴德金稱這個分割為定義了一個無理數，或者簡單的說這個分割是一個無理 數。前面2種情況中，分割是有理數。 這樣，所有可能的分割構成了數軸上的每一個點，既有有理數，又有無理數，統稱實數。 ==========================翻譯蒟蒻(嚼~嚼~嚼)================================== 一刀砍在數線上，這時以被砍到的那個倒霉鬼k為分類標的，把所有有理數分成兩類 一類是≦k的有理數，一類是>k的有理數，如果k是有理數的話那一定就在這兩類的某 一類中。但如果發現k不在這兩類中的任一類中…嘿嘿嘿，那就恭喜你啦，發現內鬼了 快叫他出來面對啦…你就可以用他的血在他的頭上寫個慘字…呃~不對~是寫無理數 (其實這就是歸謬法的精神) ============================你得到他了嗎====================================== (當你在讀高微時就會發現，它其實就是在用極限的概念，和分析的語言(δ和ε---就是 火星文啦！)將有理數拓展成實數 至於複數為什麼會出現，一開始是為了求代數方程式解的權宜之策，後來發現太好用了 再加上數學家龜毛的性格為什麼這麼說呢？不知大家有沒有聽過"代數基本定理" 沒有的話，國中學過解一元n次方程式吧！若有印象的話是不是發現任何一元n次方程式 有≦n個解，因為國中還沒學複數，所以解只限定在實數解上。 高中時學的是任何一個非零的一元n次整係數多項式，都正好有n個複數根。 以上都是狹義或簡易版的代數基本定理，真正的代數基本定理是 任何一個非零的一元n次復係數多項式，都正好有n個複數根。(重根要算兩次唷) 你看看就為了湊n次洽n個解，硬是拓展一個詭異的數系(這只是其中的一個理由)。 夠不夠龜毛 夠不夠無聊 有沒有 有沒有 告訴你什麼叫絕對的嚴謹 什麼叫數學家的堅持 保證冷場到底 我天天在搞這些 搞到我都想叫自己阿宅快醒醒吧 看看窗外那真實的世界 綠草如茵 陽光照在學妹的臉上多美啊… 複數說穿了其實只是為了運算上的方便而搞出來的，說實在的有學過複變的看官們 就會發現複數其實很好用，某個數學之神(經病)曾講過，一個真理通往另一個真理的 捷徑是複變。在實數坐標中一些很複雜的圖形可以透一個同構(isomophism)(1-to-1 & onto加上保持運算性質不變的函數 註)轉換到複數平面上變成很簡單有規則的圖形 解決後，再把答案用反函數送回原來的實坐標系中，就是真正問題的答案了。 註 保持運算性質不變的函數叫同胚(homeomophism)，這種函數有個特殊的性質就是 f(a + b) = f(a) +' f(b) 請注意這裡的 + 和 +'只是個運算而以，不代表一定是 一般1+1=2的那種加法運算，+' 也是個運算不一定和前面的 + 是同一種運算。 提到複變就要提到高級天龍人科科科西，科西當時完全不吃微積分那套，基本上 他體現了數學家的龜毛，因為當時的微積分的解釋很怪。舉個例：dx --> 0+ 當時的講法是 1. dx>0， 2. dx無限靠近0但不是0， 3. 而且沒有任何數比dx還靠近0，也就是說不存在dx和0之間的數。 仔細想一想這其實是一件很怪的事，因為1和3明顯的有矛盾 (第一點告訴我們dx>0，所以0 < dx/2 且 dx/2 < dx，代表存在 dx/2 這個數在0與dx 之間，故與第三點矛盾) 當時還被人戲稱dx是一個幽靈數。 後來科西堅持那套用 δ 和 ε 寫的火星文來描述微積分的概念，才解決了這件怪事。 數學中分析是一門領域，就好像是物理中的電子學一樣，可以自成一門學問，當然也在 數學的很多領中用到。簡單來說就是用(ε, δ)的那套估量方法給函數的極限建立了嚴 格定義(這是魏爾斯特拉斯的功勞)的模式。 ==========================回到原po的問題==================================== 我覺得把數學分為中國的數學和西方的數學比較不好 應該要分為"希臘"文明所發展出來的數學和"非希臘"文明所發展出來的數學 (有人說古埃及的數學也很威，但古埃及數學屬於經驗數學，沒有抽象嚴謹的證明 過程，是靠經驗直接給出結論的，所以帶有很多的錯誤，他們只要求堪用就好，不要 求精準，所以沒有希臘數學的後期爆發性。) 這兩者之間的最大差別是希臘文明中有哲學，這也是希臘文明最大的特點 可能有人會說，_____也有哲學啊！(請自行代入喜愛的文明) 但我覺得____文明並沒有像希臘那樣所謂的哲學，最多只能說有某種思想體系。 哲學這兩個中文字，是日本人從中國古書中找到的覺得這兩個字看起好像很威 就私自地把它對應到英文philosophy這個字，之後近代中國人再口嫌體正直地採用 萬惡小日本的翻譯。 所以中國古書中的哲學，和現代哲學所指涉的意義是不一樣的。 希臘哲學指的是愛智慧，而它的發展靠得是一群古希臘宅男們閒閒沒事做整天胡 思亂想，提出一堆看似與現實生活沒關係而且莫名奇妙(對很多人而言)的問題。 之後再把他們對於這些問題的想法，盡量用"內在無矛盾"的方式論述出來， 最後再彼此辯論(吵架？)，進而建構出一堆XX論的東西。 而內在無矛盾就是希臘哲學與其他文明思想體系(尤其是中國)的最大不同處。 因為在內在無矛盾的最高指導原則下(不然會被對方辯友用歸謬法的方式戰爆)， 才有可能把思想系統化和理論化。 為了要"內在無矛盾"所以古希臘阿宅們漸漸發現邏輯好像很重要，當然定義也 很重要，因為阿宅們常發現彼此為了一個名詞戰了半天，結果發現大家所指的東西 不一樣，根本就是雞同鴨講，白白浪費了一堆口水。 每個學問都有關注的事物，數學所關注的就是"數與形"。數字和形狀跟自然與我們 的生活息息相關，所以當然也是這群愛胡思亂想的阿宅的重要辯題(吵架主題) 所以希臘數學的發展自然也有建立內在無矛盾系統的特性。 這時不得不提一本劃時代的著作"幾何原本"。這本書為什麼重要呢？因為歐幾里德 將他當時所搜集到的幾何性質公理化。公理化其實就是"突然終止"的論證法，也就是不能 再往前問為什麼，公理集就是一切的初始。(還有另外兩種論證法，一種是大家耳熟能詳 的循環論證，還有一種就是無限退後：例如佛教的因果論就是無限退後) 公理化大幅度地限縮了人類感觀上的盲點，只把大家都直覺上能同意的命題挑出來當 公設，然後一切就必需從公設中藉由邏輯推導而出，這樣很以大大地避免每個人感觀上 的錯覺。當然近代數學的在挑選公設時不一定是讓大家都同意，只要是不與其他的公設 發生矛盾就可以，這是為了數學操作上的方便，但精神還是一樣。 研究自然科學(尤其是物理)最重要也是最困難之處就是猜出自然界的公設。 希臘文明的數學發展在中世紀的時候緩了下來，但內在無矛盾的論述精神並沒有 消失，只是阿宅們信了上帝，將這種研究方法用在發展神學上，而公理集是從兩約聖經 中整理出來，簡單來說就是方法一樣但關注的東西從數與形變成上帝和聖經。 (曾看過一些神學論文，看起來真的很數學) (自然科學某種層度上跟信仰很像，必需把公設先當作真理才能進行的下去，只是自科學 學關心研究的對向是世界和物質或者說形而下之事物，所以自然科學理論比較能透過實驗 來檢驗是否符合所觀測現象，進而不斷地去修正其公設，讓他趨進可信。宗教信仰所關心 的事物比較偏向形而上，所以大部份比較難透過具體精確的實驗來檢驗。) 這裡的形而上和形而下只是相對性，用來幫助我形容我的想法，可能並不是很精確 後來文藝復興後大家才又把關心的對象，從上帝、天堂和聖經(神本)轉向成人、世界和 物質(人本…不是鄉民所討厭的人本喔)，將原本的那種研究精神與方式拿來研究世界上 各種東西(這時很多領域開始從哲學分化出來了)。 德國的數學家康托爾創立了現代集合論(其中的可數集和不可數集是個有趣的東西) 。這也是劃時代的創見，因為從此數學就開始利用集合論真正的抽象化了。(抽象就是 抽掉一切的表象，留下最本質的結構。這樣更加大數學可以應用的範圍，使數學成為更 有力的工具)。人類的直覺通常碰到無限的問題都會直接當機，不然就會得出一些不可 思議(詭異或者矛盾)的結論。而康托爾的集合論如同風一般輕輕吹起無限神秘面紗的一角 讓人稍稍能一窺無限的真相。告訴我們無限是有分類的countable 和 uncountable 雖然 都是無限，但卻有著不同的特性。分析學中大量地運用了此觀念。 =================================連續統假設===================================== (為了把康托爾到底幹了什麼天怒人怨的事交代清楚一點就必須講一下連統假設。我保證這裡 會讓你靈台炸裂，看不下去就不要硬看，否則經脈逆行走火入魔就怪不得我啦。倘若你 看得津津有味，順暢無阻，感覺十分合理。那恭喜啦，你已經漸漸得脫離人類這個物種， 你可能會發現自己很難跟一般人正常的交談溝通，趕快去看一下心理醫生，順便去辦轉系 ，數學系是你取暖討拍拍的好地方) 在講這個之前要先講什麼是集合的相似(similar) 集合相似這個概念是為了討論兩個集合的元素個數是否相等的問題，也許你會說這有啥好 討論的，數一數不就知道了。沒錯，在集合是有限集的情形下，數一數就打完收功了。 但若碰倒無限集就挫賽了，也許你會想說都無限個要怎麼∞比∞，不是都沒有意義嗎？ 不，∞還是有分程度的，有的∞比較大，有的比較小。這是件很詭異很詭異的事，抓 兩個無限大來比大小，想起來都毛。 但這時可以用一個很天才的法方來比較元素個數是否一樣多，利用 1-to-1 & onto 函數(又叫bijection)。1-to-1保證每個值域的值都只會對到一個定義域的元素，而 onto 保證值域的所有元素都會被對完。 若我們發現或證明了存在一個bijection函數把 A 集合對到 B集合，那就等於B集合 裡的每一個任意元素，都只跟唯一一個A的元素綁在一起，而且因A集合是定義域，所以他 的每個元素都一定要跟一個B集合中的元素綁在一。那不就等於A集合的元素個素與B集合的 元素個數一樣了嗎。我們就稱這件事叫 A 相似於 B。符號記做 A~B，當然很明顯的 A~B <-> B~A。 根據這種方法，我們可以發現一個很神奇的現象，就是任意一個無限集必至少存在 一個他的真子集與其相似。 也就是說若 S 是無限集，則存在一個 E 包含於但不等於 S，使得 S~E 證明： 若S是無限集，則把S中的一點 x_1 挖掉後，S-{x_1}是個無限集，所以可以 把S-{x_1}裡面的一個點 x_2 再挖掉變成S-{x_1, x_2} 同理S-{x_1, x_2,..., x_n}仍然還是個無限集，所以我們可以一直挖 令集合S' = S-{x_1, x_2,..., x_n,....} (大不了S'=ψ，但我們一定可以 從S中挖出{x_1, x_2,..., x_n,....}這個無限的點集合) 然後 S = S'∪{x_1, x_2,..., x_n,....}，且S'∩{x_1, x_2,..., x_n,....}=ψ ﹌﹌ 令E = S-{x_1} = S'∪{x_2, ..., x_n,....}，顯然 E 是 S 的真子集。 ﹌﹌ 然後我定義一函數 f: E ---> S f(x) = ∣x 若 x 屬於 S' ∣ ∣x _i 若 x = x_(i+1) i是任意正整數 這個函數f是我作出來的，而且很明顯的f是個bijection函數。 所以存在一個 S 的真子集 E，使得 E~S 因為無限集的元素個數本來就是無限多個，把無限多這個數拿來互相討論和比較大小 實在是一件很奇怪，所以特別創造了一個專有名詞「基數」（Cardinal Number)。 所謂基數，簡而言之便是集合的元素數量。 然後定義自然數集合 N 的基數叫做「χ_0」（讀 Aleph-Null），這個符號只是 代表某個特別的無限大的數，就像π代表圓周率這個無限不循環小數一樣。 為什麼特別呢？因為他是"最小的無限大的數" (幹！我知道這很詭異，但實在是很難 用一般的地球語言去形容)。 我們再定義一件事就是若集合 S 的基數是χ_0，那我們稱 S 為無限"可數"集， 換句話就是所有的自然數集合 N~S。 注意: 可數集(countable set)通常代表此集合是有限集 or 此集合的基數是χ_0 有可數集就一定有不可數集(uncountable set)，不可數集就是"不是可數集"的集合 還有不可數集一定是個無限集合。 由這此詭異的東西就會推導出以下詭異的結果： 自然數集合 N 的基數 = 所有整數集合 Z 的基數 = 有理數集合 Q 的基數 = χ_0 也就是說 N , Z , Q 都是 countable 實數集合 R 是不可數(uncountable)，也就是說 R 的基數 > χ_0 通俗一點的說反就是實數個數比整數、有理數還要多，而且是多很多 更奇怪的是無理數也是不可數的，所以無理數的數量會跟實數一樣，但遠大於有理數。 以上都是可以證明的唷…，但我相信各位看官，看到這邊一定已經差不多口吐白沫， 經脈逆行…。所以就讓我們繼續證明下去吧~哈哈哈哈 (拖走~~~~~) (原po現在已經進入一種奇妙的精神狀態) 我想大家也快不行了，我也打得有點累所以這些證明若有興趣的話可以私下找我要。 保證有趣到你靈台炸裂。但請要相信原po是證得出來的…，好歹我也是國家精神研 究院的一份子(不要懷疑就是做被人研究的那一種)。 以下更多關於連續統假說及其重要性的說明 http://www.mikekong.net/Maths/Problems/CH01.html (圖文版) 「無限！再沒有其它的問題如此深刻地打動過人類的心靈。」，這是希爾伯特（Hilbert ）的名句，而所謂「連續統假設」──一個有關「無限」的問題，也在他的二十三個問題 中高據首位。但甚麼是「連續統假設」（Continuum Hypothesis）呢？何以這個假設又會 是一個問題？ 　　要說「連續統假設」，必須先說「無窮」或「無限」這個概念。人類對「無窮」基本 上有兩個觀點，一種是「潛無窮」，而另一種是「實無窮」。所謂「潛無窮」可以說是由 步往無窮的過程而得出的概念。例如：因為每一個自然數加以一後還是自然數，從而可知 自然數的數目有無窮多個。這個無窮的概念並不是確實存在，而是透過過程和對這過程的 認知來表現出來，所以稱之為「潛無窮」。相反，「實無窮」則是承認「無窮」這東西的 實際存在，承認無窮集合是一個現實的、完成的、存在著的整體，是可以認識、可以掌握 和抓得住的東西。 「實無窮」的奠基者就是集合論之父──康托（Cantor），他也是提出「連續統假設」的 人。但實無窮跟連續統有何關係呢？到此又必須說「基數」（Cardinal Number）和「超 限數」（transfinite Number）的概念。所謂基數，簡而言之便是集合的元素數量；而超 限數方面，簡單來說就是代表實無窮的數。當集合內只有有限個元素時是很易理解的，但 當集合內有無限個元素時便需要超限數的幫助，例如：自然數集的元素數目（可數無窮， Countable Infinity），也是最小的超限數，我們稱之為「χ_0」（讀 Aleph-Null） 其中"χ"是希伯萊文的第一個字母。從集合論中可知道，任何集合的冪集（Power Set） 的基數都必比原本的集合的基數大，所以自然數集的冪集的基數必定是一個超限數，而且 比χ_0更大，由此可知「無窮」也有大小之分，且可以不斷推展，即有無窮多個不同的實 無窮，而所謂「連續統」便是最小的不可數集合的基數，記為「χ_1」；「連續統假設」 也是由這點出發。 　　從上述的理解，可數集的冪集的基數，記為「2^χ_0」是比可數集的基數更大，而另 一方面，我們也知道連續統的基數也必比可數集的基數大，而且χ_1 ≦ 2^χ_0 ，那麼 一個最自然不過的問題，便是「上式的等號成立還是不等號成立呢？」如果不等式成立， 那麼在χ_1 及 2^χ_0之間會有多少個實無窮的基數存在呢？ 　　1878年，康托在一篇論文中作出了一個猜想，他想上式的等號是成立的，即 χ_1 = 2^χ_0，在《關於無窮線性點集（6）》中他提及到上述猜想是可以被證明的。 據說，他曾聲稱已證明這等式，但始終他沒有把這證明公布，相信是他發現了該證明尚有 錯誤之原故。而現在人們稱康托的這猜想為「連續統假設」（Continuum Hypothesis）， 縮寫為「CH」。 豪斯道夫 　　1908年，豪斯道夫（Hausdorff）提出另一種的說法，即對某些序數α來說 2^χ_0 = χ_α，而現在人們則稱豪斯道夫的這猜想為「廣義連續統假設」 （Generalized Continuum Hypothesis）。 連續統假設的最終解答將對整個數學帶來巨大的影響。連續統假設雖然是在集合論中提出 ，但在數學的各個領域特別是在實變函數論中，有很多等價命題及推論。以下摘錄了一些 連續統假設的等價命題 1. 平面上所有的點的集合是兩個集合的聯，其中一個集合在所有與x軸平行的直線 上至多是可數的，另一個集合在y軸的所有平行線上至多是可數的。 2. 平面是可數條曲線的聯。 3. 存在著實變數的集值函數f，且對於每一個實數x，其值f(x)是一個可數集合，它 把每一個不可數的實數集合映射為全體實數集合。 4. 全體實數集合是可數個遞增的集合的聯。 5. 每個基數小於χ_i_0的線性集合的測度為零。 6. 在希爾伯特空間（Hilbert Space）內，存在一個不可數的點集，它的每個不可 數子集合不能同胚（Homeomorphic）於歐幾里得空間（Euclidean Space）的一 部分。 連續統假設的推論 1. 存在實數集的一個不可數子集，它和實數集的每個無處稠密集合的交集合至多是 可數的。 2. 在在實數集合內的一個不可數集合，它的每個連續象的測度為零。 3. 在實數集合內的一個不可數子集合上存在一個連續函數f使得它在該集的任一不 可數子集合上不是一致連續的。 4. 存在一個實變數函數的無窮序列f1，f2，f3…，它在每個不可數集合上收斂，但 不一致收斂。 5. 存在一些實數集合，在它們上面存在0類，1類，2類的貝塞爾（Bessel）函數，但在 每個集合上不存在3類貝塞爾函數。 　　從以上的命題可以看出，承認連續統假設和廣義連續統假設，對許多數學定理的證明 是極其有用的。可是這也不可能說連續統假設是正確的，相反當某些推論被證明不可能時 ，便可以推論出連續統假設是不正確，而有關連續統假設的真偽便成為數學界爭議不休的 問題了。 ========================看完後有沒有覺得刺刺的、熱熱的========================== (我第一次看到時，覺得"踏馬的"，怎麼把數學搞得這麼噁心，還我國高中的歡樂數學啦) 近代的數學就是靠公理化提供發展的基石，用集合將概念抽象化地定義下來 一次性地研究清楚同類型的所有問題，以便拓廣拓深數學所能適用的範圍。 還有很多人會覺得數學家常常想證明一些看似毫無用處or顯而易見的命題， 像：1+1=2、算數基本定理、微積分基本定理，龐加萊猜想還有數論中一堆XXX猜想 其實重點不是在證明這些命題是不是對的，而是在證明的過程中會可能會發現一些 更本質的現象，這可能可以幫助我們從另一個角度或者更廣範的角度來觀察和看待 我們的世界，或者當用現有的數學工具證明不出來時，攪盡腦汁地發展出更好更 強而有力的數學工具或技巧去證明，而這些新的強而有力的數學工具和技巧或可能會 大幅度地促進我們科技文明的發展。 提一下希臘哲學(我不是哲學科班出身，只是看過一點閒書，所以可能會有些謬誤，請 多包函) 哲學的領域大至上分為三大塊，這三大塊的分界有時並不是那麼明顯，所以不能硬把他 們切割開來，大多數的哲學著作都會觸及這三大塊，只是偏重各有不同 第一類是 形上學：中國古書(忘了哪一本)中說：「形而上者謂之道，形而下者謂之器」 藉用了這一句話來命名形上學，是故形上學自然跟道有關，這裡的道 比較適合理解為世界萬物的本質，也可以看成是自然界的真理知識。 形上學簡而言之就是在探討什麼是真理，或者XX的本質是什麼？ 像我是誰？ 生命是什麼？ 什麼是美？ 什麼是善惡？ 神是什麼？ 諸如此類的問題，為了探討這類型的問題就不得不考慮存有論。 當然這些問題通常都沒有一定的答案。 第二類是 知識論：或者叫認識論。主要的內容在講說，如果存在一個真理(知識)，那我 們該如何認識(學習)它。這時候經驗主義和先驗主義就會開始戰很大 藉由經驗歸納得來的知識和經由邏輯推演得到的知識誰比較可信。 康德的純粹理性批判主要就是在處理與調和這兩派的論點。 迪卡爾的那套我思故我在的論點也是屬於知識論的範圍 現在科學方法的主體就是由知識論發展出來的。 邏輯實證主義也是這類型的產物，只是它最後失敗了。 第三類 倫理學：道德與倫理我自己是如此定義的，道德是在講什麼是對的，倫理是在講 我們應該怎麼做。倫理學主要的內容就是在討論這兩點。倫理學中戰比 較大的是決定論(宿命論)和非決定論(隨機)對於有無自由意志之爭。 現代法律的學術理論基礎，基本上就是從倫理學來的。 我自己認為希臘哲學是人類理性最光輝性的展現，人類運用天生的理性，創造了各種各 樣的文明，但近代的文明，尤其是科技上的文明，實在無法忽略希臘哲學強而有力的支 柱。但我們還是要保持虛心，因為出了某個範為之後，人類的理性就開始當機了，變得 虛弱無比，最終只能承認人的有限和無知，這不是可以靠後天的學習和努力去突破的。 舉凡大喊人定勝天，或科學可以解決一切問題的，不過是科學家或數學家的傲慢。 但我們也必須承認在某個範圍之內，人的理性真是威到爆炸，能使黑夜白晝、日行萬里 上天下地，近乎無所不能，所掌握的力量更是可以舉著太陽之火焦土焚城、毀天滅地。 如何區分哪裡是理性工作的範圍，哪裡卻不是則需要智慧和真實地去學習和面對人的理性 而不是隨著偽科學之流大喊現今科學無用論… 屁了這麼多，我想還是回到為什麼中國文明文化無法自行的發展出像傳承自希臘文明的現 代數學，最主要有幾個點： 第一，不力求系統的內在無矛盾化(一切自己說不清的就，道可道非常道，反正 就是玄之又玄，搞不好自己也不懂只好唬爛別人說「不要問，很恐怖」) 第二，對於顯而易見的問題不去追根究底，想說「阿不就是這樣嗎？有什麼 好問為什麼的」(現在很多人也是這樣，懶得想懶得思考，把詮釋的權利 讓給某些人，幻想單純跟隨盲從就可得到利益並免於迫害，進而造就出 歷上多少狂人強人，促成了一個又一個人間悲劇) 第三，過度的訴諸於權威，權威不容挑戰和懷疑，不然就是大逆不道 等……目前只暫時想到這些 當然這些只是我的一些觀點，也許並不全面，世界上的問題尤其是社會上的現象 往往不是單一因素造成的，可能存在很多錯宗複雜的原因，彼此交插影響，最終呈 現如些的結果。像也有其他原因造成上面那三點在中國社會中存在，所以到底是什麼 原因造成的，其實也很難理得清。 啊！打了這麼多，也許會有很多謬誤，請大家多多指正包涵…謝謝 --

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