身为一个数学系的学生，看到这个讨论串忍不住手痒上发表我的看法 读了数学系後，才发现我是如此的虚弱所以以下言论有可能会有错误的地方 请各位版友多多包函。 -------------------------------------------------------------------- (数的演变) 数学主要研究的主题是"数和形"(数字和形状) 发展到近代主要会用两种方式来研究数字和形状，一种是分析，一种是代数 在"数字"的方面关注的有两点，一个是数系，一个是运算 而数系一直为了运算的需求而拓展，可以视为把数线填满的过程… 从一开始的自然数(1 2 3 4 …)和加法的概念 这两个东西应该是人类本能就会意 识到的。 自然数在做加法运算是有封闭性，所以在做加法时，自然数不会出啥问题 但当人类意识到扣掉(减的概念也就是加法的反运算)时，就发现 干糟了… 1-1是什麽鬼东东？ 所以为了满足运算上的需要，进而有了0(没有东西)的概念，使 1-1=0 2-2=0 … 那1-2又是什麽洨？ 1-2 = 1-1-1 = 0-1？？？ ~崩溃~ 为了解决这个问题只好再次发挥数学家最强的嘴炮---我定义 把比零少一定为负一，然後负一长这样-1(这是为了方便起见)，之後就依此类推 这样就定出了负整数。 自然数、零和负整数的合体就是整数了。人类发现整数对加减法有封闭性，不会 出现什麽不可思议的事 (某个集合对某个运算有封闭性就是集合中的任两个元素做此运算的结果还是此集合 的元素。这是个很好的运算性质，因为你不会算着算着突然发现不知道答案是 什麽鬼东西，而且算出的答案还可以接combo，继续跟集合的其他元素做运算) 当人类意识到乘这件事时，就是算数上一大跳跃性的进步，而整数对乘法依然有封闭 性(~感动)。但有乘法运算，就总有一天会有人发现可以倒着算---乘法反运算(除法) 这时出现了两个很大的问题 1除以0 和 1除以2 ~青筋~ 1除以0 这件事数学家怎麽想都觉得毛毛的不对劲，突然想起一句明言「不要问，很恐怖」 「什麽你还要问…好啦好啦，我定义这件事无意义啦！ 什麽你不服！！」 这时就要数学家就会大声的说「I am the law... 」 (有人会觉得很奇怪 1/0 不是无限大吗？怎麽会无意义？ 要知道是後来因为有了极限 的极念才能定义 1/0 = lim 1/n, 然後lim 1/n=∞ 所以 1/0 =∞。在没有极限的极念 n->0+ n->0+ 之前是无法理解 1/0 是什麽洨，所以才定义 1/0 为无意义) 极限的概念必需用分析的语言(δ 和 ε的那套鬼东东)来描述才不会发生不可思议的事情 之後会提到。 1除以2 就是把一分成两份取其中一份的意思，整数中没有一个数有这种概念那就再 次定义出一种新的数---有理数，也就是可以写成某两个整数比的数。 哇哈哈！这下加减乘除都没有问题啦！而且因为有理数有稠密性(任两个有理数之 间一定存在某个有理数)，所以会很自然的认为数线已经被补完了。也就是说任何数都可 以用某两整数的比来表示，显然我们的毕哥就是这件事的信徒之一。 但是毕哥的弟子吸仆死很不给面子地用几何的方法证明根号2不是有理数… 得罪了毕哥还想跑，仆街吧！结果吸仆死就仆街而死了。 在大学的数学系，有一门很重的主修叫高等微积分(高等到完全看不出来 跟微积分有任何关系)的前三分之一本就在讲数线(实数)的最终补完计画，也就是所 谓的完备性公设 注 =====以下说明什麽是完备性公设及其应用，会用到一些数学，我尽量讲得简单一点====== 完备性公设： 任何非空的实数子集S，若其上界存在，则存在一实数b为其最小上界 这里稍微提一下啥是上界？啥是最小上界(supremum) 若有一个实数M，大於等於的S里的任何元素，那M就是S的其中一个上界(上界不会只 有一个)，所有S的上界的最小值就是最小上界supremum。 举个例：区间 (0,1) 是个非空的实数子集，且有无限多个元素。 1和比1大的任何数都是他的上界，而这些上界中最小的数是1，故sup(0,1)=1 (补1:有限集合一定有上界，但无限集合是"不一定"有上界 补2:最小上界"不一定"会在原来的集合中) 可能有人会觉得完备性公设不是本来就这样吗？根本就是句废话。数学的公设大部份都看 起来像句废话，但就是要把这些大家都直觉上同意的事当做公设，然後利用逻辑从这些废 话中架构出整个数学奇妙的世界。因为必需要从这些所有人都同意的废话出发，大家才会 有对话的根基，也才能得出相同的结论(只要你的逻辑没bug的话)。 你可能会问说完备性公设可以干麻？可以吃吗？ 那我现在就在举一个例，利用完备性公设来证明「自然数有无限个」这个命题。 你可能会说靠！这还用证明？这不是本来就这样吗？ 这就是为什麽数学是很好的逻辑训练的原因。一个严谨的证明必需要把自己和读者当做 一个只有内建逻辑系统的机器，且除了公设以外什麽都不知道，不能把一些经由後天学 习的知识拿来用。你也不可能用一个一个把自然数列出来的方法去证明自然数是无限个 ，因为不管你列到多大的正整数，都不能确定自然数有无限个。我们会觉得列不完所以 有无限个，只是我们的感觉(就是乡民口中的"我觉得")，根本不能当严谨的证明。 所以要用归谬证法去证明(反证法只是归谬证法的一种，之後会说明啥是归谬证法) 证明如下： 假设 N是所有自然数的集合，若自然数为有限个，则N为有限集，故N有上界。 根据完备性公设，必存在一个实数n=supN。对n取高斯函数，保证[n]为≦n的最大整数 所以[n]属於N，则[n]+1也必属於N。但[n]+1 > n，可是又因为n是N的最小上界 所以n > [n]+1，这时产生了一个不可斯议的矛盾。 所以N为有限集是个错误的假设，故N为无限集才是正确的。 现在来谈一下什麽是归谬证法。很多人对"反证法"这三个字很耳熟，也有听过什麽 若p则q 等价於 非q则非p (等价就是这两个命题会同时为真或同时为伪，不会有一 真一伪的情况发生)，也以为非q则非p就是反证法。 大多数的高中以下的老师都只是告诉我们这件事，叫我们背起来，也没说为什麽这样就 可以证明一个命题是真的。 而大学的数学系教授也不会教，因为他们认为若你连这个都悟不出来，大概也没什麽念 数学的天份，所以也懒得教。 反证法是归谬法的一种，所以我们必需要先搞懂归谬法是啥鬼东东。 今天有个命题 p->q ，若要用归谬法证明些命题为真的话。通常第一步是先否定此命题 ~(p->q)，把原题否定之後会变成p->~q，然後就想尽办法搞出一个矛盾就成功了，这一步 就是考验数学功力、技巧和天份的地方。 什麽叫想尽办法弄出矛盾，举个例：p->~q->r->t->s->m->n。从~q之後就是你用各种方法 推导出来的，只要是不违反逻辑，不违反原命题所在的公设系统都可以。 只要发现 p, ~q, r, t, s, m, n 其中某两个互相矛盾就搞定了。而若在越少步就发现有 矛盾，代表这个证明越漂亮。 以上只是归谬法的操作方式，其背後的精神是，把所有可能的事分为两个大类(最常是分 成两类，但要分成多少类都行，只要是有限个大类)，彼此之间不能有交集，且联集就是 所有可能的事(这样才能保证没有少考虑到的地方，以免出现bug)，然後发现某件事不在 其中一个大类中，那就一定在另一个大类。 简单来说，今天有个蛋糕，在制做的过程中不小心地掉进了一个硬币，可是却是在蛋糕 烤好的时候才发现。而你拿一把刀，一刀切下去把蛋糕分成A、B两块(假设没切到硬币) 然後有个人要你证明硬币在A块里头，但又不准你碰A块蛋糕，要保持A块蛋糕完好无缺， 那最合理可行的办法就是把B块蛋糕弄碎检查看硬币有没有在里面，若没有的话，则硬币一 定就是在A中。 补充一个重要的逻辑观念，一个正确无矛盾的逻辑推论，不保证结论为真，因为有可能 前题是假的。举个例：若以「会吃会睡的是猪」为前题，因为男人会吃会睡，所以得到 「男人是猪」这个结论。在这个逻辑推导是正确无矛盾的，但是很显然结论是错的(可能 有人会觉得是对的XDDDDD) 可是若一个正确的逻辑推论出现了矛盾，那代表前题一定是错的。 为了不找自己的麻烦，通常我们是用二分法去分类，但若又要保证这两个分类无交集 且联集为整个宇集(所有的事件)的最简单办法，就是把所有事件分成 p->q 与 ~(p->q) 像要把人类分成两大类，不能分成男人和女人，因为会阴阳人不是男人也不是女人，可 却是人类，所以只要把人类分成，男人和非男人就可以，因为阴阳人自动会归入非男人的 那一类。那~(p->q)又是什麽鬼？ 我可以直接告诉你 ~(p->q) 就是 p->~p 那可能会有人抗议说为什麽不是 ~p->p 或是 ~p->~p？ p->q 代表若p发生了，保证q会发生 (注意p->q不保证q在p之後发生，有可能在之前也 有可能同时，举例：婴儿初生->妈妈初生，代表婴儿初生的话，保证婴儿的妈妈一定也初 生，但婴儿的妈妈初生了，不保证婴儿一定初生，而婴初生却一定是在妈妈初生之後)。 而否定p->q，就是在原来的p发生条件下却发生不是q的事件。所以~(p->q) 就是 p->~p 那为什麽反正法是归谬法的一种？ 我们已知反证法在形式上是去推论出~q->~p就证成了。 若用归谬法来表示就是 ~(p->q) <=> p->~q->~p 波浪底线是反证法做的 而 p 发生居然保证 ~p 发生，这当然是个严重的矛盾，故在归谬法中得证。 =============================以上是一些数学小常识============================= 这时就不得不提江湖人称数学之王(ㄅㄚ ㄉㄢˋ)，搞死人不偿命的高斯… ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~的弟子 也就是德国数学家理察戴德金(有没有讲德语的数学都很好的八卦)搞出了一个定义实数 (有理数和无理数)的方法。 ================以下为火星文==看不懂请服用翻译蒟蒻=========================== 假设给定某种方法，把所有的有理数分为两个集合，A和B，A中的每一个元素都小於B中的 每一个元素，任何一种分类方法称为有理数的一个分割。 对於任一分割，必有3种可能，其中有且只有1种成立： 1. A有一个最大元素a，B没有最小元素。例如A是所有≦1的有理数，B是所有>1的有理数 2. B有一个最小元素b，A没有最大元素。例如A是所有<1的有理数，B是所有≧1的有理数 3. A没有最大元素，B也没有最小元素，例如A是所有负的有理数，零和平方小於2的正 有理数，B是所有平方大於2的正有理数。显然A和B的并集是所有的有理数，因为平 方等於2的数不是有理数。 注意：A有最大元素a，且B有最小元素b是不可能的，因为这样就有一个有理数(a+b)/2 不存在於A和B两个集合中，与A和B的联集是所有的有理数矛盾 第3种情况，戴德金称这个分割为定义了一个无理数，或者简单的说这个分割是一个无理 数。前面2种情况中，分割是有理数。 这样，所有可能的分割构成了数轴上的每一个点，既有有理数，又有无理数，统称实数。 ==========================翻译蒟蒻(嚼~嚼~嚼)================================== 一刀砍在数线上，这时以被砍到的那个倒霉鬼k为分类标的，把所有有理数分成两类 一类是≦k的有理数，一类是>k的有理数，如果k是有理数的话那一定就在这两类的某 一类中。但如果发现k不在这两类中的任一类中…嘿嘿嘿，那就恭喜你啦，发现内鬼了 快叫他出来面对啦…你就可以用他的血在他的头上写个惨字…呃~不对~是写无理数 (其实这就是归谬法的精神) ============================你得到他了吗====================================== (当你在读高微时就会发现，它其实就是在用极限的概念，和分析的语言(δ和ε---就是 火星文啦！)将有理数拓展成实数 至於复数为什麽会出现，一开始是为了求代数方程式解的权宜之策，後来发现太好用了 再加上数学家龟毛的性格为什麽这麽说呢？不知大家有没有听过"代数基本定理" 没有的话，国中学过解一元n次方程式吧！若有印象的话是不是发现任何一元n次方程式 有≦n个解，因为国中还没学复数，所以解只限定在实数解上。 高中时学的是任何一个非零的一元n次整系数多项式，都正好有n个复数根。 以上都是狭义或简易版的代数基本定理，真正的代数基本定理是 任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。(重根要算两次唷) 你看看就为了凑n次洽n个解，硬是拓展一个诡异的数系(这只是其中的一个理由)。 够不够龟毛 够不够无聊 有没有 有没有 告诉你什麽叫绝对的严谨 什麽叫数学家的坚持 保证冷场到底 我天天在搞这些 搞到我都想叫自己阿宅快醒醒吧 看看窗外那真实的世界 绿草如茵 阳光照在学妹的脸上多美啊… 复数说穿了其实只是为了运算上的方便而搞出来的，说实在的有学过复变的看官们 就会发现复数其实很好用，某个数学之神(经病)曾讲过，一个真理通往另一个真理的 捷径是复变。在实数坐标中一些很复杂的图形可以透一个同构(isomophism)(1-to-1 & onto加上保持运算性质不变的函数 注)转换到复数平面上变成很简单有规则的图形 解决後，再把答案用反函数送回原来的实坐标系中，就是真正问题的答案了。 注 保持运算性质不变的函数叫同胚(homeomophism)，这种函数有个特殊的性质就是 f(a + b) = f(a) +' f(b) 请注意这里的 + 和 +'只是个运算而以，不代表一定是 一般1+1=2的那种加法运算，+' 也是个运算不一定和前面的 + 是同一种运算。 提到复变就要提到高级天龙人科科科西，科西当时完全不吃微积分那套，基本上 他体现了数学家的龟毛，因为当时的微积分的解释很怪。举个例：dx --> 0+ 当时的讲法是 1. dx>0， 2. dx无限靠近0但不是0， 3. 而且没有任何数比dx还靠近0，也就是说不存在dx和0之间的数。 仔细想一想这其实是一件很怪的事，因为1和3明显的有矛盾 (第一点告诉我们dx>0，所以0 < dx/2 且 dx/2 < dx，代表存在 dx/2 这个数在0与dx 之间，故与第三点矛盾) 当时还被人戏称dx是一个幽灵数。 後来科西坚持那套用 δ 和 ε 写的火星文来描述微积分的概念，才解决了这件怪事。 数学中分析是一门领域，就好像是物理中的电子学一样，可以自成一门学问，当然也在 数学的很多领中用到。简单来说就是用(ε, δ)的那套估量方法给函数的极限建立了严 格定义(这是魏尔斯特拉斯的功劳)的模式。 ==========================回到原po的问题==================================== 我觉得把数学分为中国的数学和西方的数学比较不好 应该要分为"希腊"文明所发展出来的数学和"非希腊"文明所发展出来的数学 (有人说古埃及的数学也很威，但古埃及数学属於经验数学，没有抽象严谨的证明 过程，是靠经验直接给出结论的，所以带有很多的错误，他们只要求堪用就好，不要 求精准，所以没有希腊数学的後期爆发性。) 这两者之间的最大差别是希腊文明中有哲学，这也是希腊文明最大的特点 可能有人会说，_____也有哲学啊！(请自行代入喜爱的文明) 但我觉得____文明并没有像希腊那样所谓的哲学，最多只能说有某种思想体系。 哲学这两个中文字，是日本人从中国古书中找到的觉得这两个字看起好像很威 就私自地把它对应到英文philosophy这个字，之後近代中国人再口嫌体正直地采用 万恶小日本的翻译。 所以中国古书中的哲学，和现代哲学所指涉的意义是不一样的。 希腊哲学指的是爱智慧，而它的发展靠得是一群古希腊宅男们闲闲没事做整天胡 思乱想，提出一堆看似与现实生活没关系而且莫名奇妙(对很多人而言)的问题。 之後再把他们对於这些问题的想法，尽量用"内在无矛盾"的方式论述出来， 最後再彼此辩论(吵架？)，进而建构出一堆XX论的东西。 而内在无矛盾就是希腊哲学与其他文明思想体系(尤其是中国)的最大不同处。 因为在内在无矛盾的最高指导原则下(不然会被对方辩友用归谬法的方式战爆)， 才有可能把思想系统化和理论化。 为了要"内在无矛盾"所以古希腊阿宅们渐渐发现逻辑好像很重要，当然定义也 很重要，因为阿宅们常发现彼此为了一个名词战了半天，结果发现大家所指的东西 不一样，根本就是鸡同鸭讲，白白浪费了一堆口水。 每个学问都有关注的事物，数学所关注的就是"数与形"。数字和形状跟自然与我们 的生活息息相关，所以当然也是这群爱胡思乱想的阿宅的重要辩题(吵架主题) 所以希腊数学的发展自然也有建立内在无矛盾系统的特性。 这时不得不提一本划时代的着作"几何原本"。这本书为什麽重要呢？因为欧几里德 将他当时所搜集到的几何性质公理化。公理化其实就是"突然终止"的论证法，也就是不能 再往前问为什麽，公理集就是一切的初始。(还有另外两种论证法，一种是大家耳熟能详 的循环论证，还有一种就是无限退後：例如佛教的因果论就是无限退後) 公理化大幅度地限缩了人类感观上的盲点，只把大家都直觉上能同意的命题挑出来当 公设，然後一切就必需从公设中藉由逻辑推导而出，这样很以大大地避免每个人感观上 的错觉。当然近代数学的在挑选公设时不一定是让大家都同意，只要是不与其他的公设 发生矛盾就可以，这是为了数学操作上的方便，但精神还是一样。 研究自然科学(尤其是物理)最重要也是最困难之处就是猜出自然界的公设。 希腊文明的数学发展在中世纪的时候缓了下来，但内在无矛盾的论述精神并没有 消失，只是阿宅们信了上帝，将这种研究方法用在发展神学上，而公理集是从两约圣经 中整理出来，简单来说就是方法一样但关注的东西从数与形变成上帝和圣经。 (曾看过一些神学论文，看起来真的很数学) (自然科学某种层度上跟信仰很像，必需把公设先当作真理才能进行的下去，只是自科学 学关心研究的对向是世界和物质或者说形而下之事物，所以自然科学理论比较能透过实验 来检验是否符合所观测现象，进而不断地去修正其公设，让他趋进可信。宗教信仰所关心 的事物比较偏向形而上，所以大部份比较难透过具体精确的实验来检验。) 这里的形而上和形而下只是相对性，用来帮助我形容我的想法，可能并不是很精确 後来文艺复兴後大家才又把关心的对象，从上帝、天堂和圣经(神本)转向成人、世界和 物质(人本…不是乡民所讨厌的人本喔)，将原本的那种研究精神与方式拿来研究世界上 各种东西(这时很多领域开始从哲学分化出来了)。 德国的数学家康托尔创立了现代集合论(其中的可数集和不可数集是个有趣的东西) 。这也是划时代的创见，因为从此数学就开始利用集合论真正的抽象化了。(抽象就是 抽掉一切的表象，留下最本质的结构。这样更加大数学可以应用的范围，使数学成为更 有力的工具)。人类的直觉通常碰到无限的问题都会直接当机，不然就会得出一些不可 思议(诡异或者矛盾)的结论。而康托尔的集合论如同风一般轻轻吹起无限神秘面纱的一角 让人稍稍能一窥无限的真相。告诉我们无限是有分类的countable 和 uncountable 虽然 都是无限，但却有着不同的特性。分析学中大量地运用了此观念。 =================================连续统假设===================================== (为了把康托尔到底干了什麽天怒人怨的事交代清楚一点就必须讲一下连统假设。我保证这里 会让你灵台炸裂，看不下去就不要硬看，否则经脉逆行走火入魔就怪不得我啦。倘若你 看得津津有味，顺畅无阻，感觉十分合理。那恭喜啦，你已经渐渐得脱离人类这个物种， 你可能会发现自己很难跟一般人正常的交谈沟通，赶快去看一下心理医生，顺便去办转系 ，数学系是你取暖讨拍拍的好地方) 在讲这个之前要先讲什麽是集合的相似(similar) 集合相似这个概念是为了讨论两个集合的元素个数是否相等的问题，也许你会说这有啥好 讨论的，数一数不就知道了。没错，在集合是有限集的情形下，数一数就打完收功了。 但若碰倒无限集就挫赛了，也许你会想说都无限个要怎麽∞比∞，不是都没有意义吗？ 不，∞还是有分程度的，有的∞比较大，有的比较小。这是件很诡异很诡异的事，抓 两个无限大来比大小，想起来都毛。 但这时可以用一个很天才的法方来比较元素个数是否一样多，利用 1-to-1 & onto 函数(又叫bijection)。1-to-1保证每个值域的值都只会对到一个定义域的元素，而 onto 保证值域的所有元素都会被对完。 若我们发现或证明了存在一个bijection函数把 A 集合对到 B集合，那就等於B集合 里的每一个任意元素，都只跟唯一一个A的元素绑在一起，而且因A集合是定义域，所以他 的每个元素都一定要跟一个B集合中的元素绑在一。那不就等於A集合的元素个素与B集合的 元素个数一样了吗。我们就称这件事叫 A 相似於 B。符号记做 A~B，当然很明显的 A~B <-> B~A。 根据这种方法，我们可以发现一个很神奇的现象，就是任意一个无限集必至少存在 一个他的真子集与其相似。 也就是说若 S 是无限集，则存在一个 E 包含於但不等於 S，使得 S~E 证明： 若S是无限集，则把S中的一点 x_1 挖掉後，S-{x_1}是个无限集，所以可以 把S-{x_1}里面的一个点 x_2 再挖掉变成S-{x_1, x_2} 同理S-{x_1, x_2,..., x_n}仍然还是个无限集，所以我们可以一直挖 令集合S' = S-{x_1, x_2,..., x_n,....} (大不了S'=ψ，但我们一定可以 从S中挖出{x_1, x_2,..., x_n,....}这个无限的点集合) 然後 S = S'∪{x_1, x_2,..., x_n,....}，且S'∩{x_1, x_2,..., x_n,....}=ψ ﹌﹌ 令E = S-{x_1} = S'∪{x_2, ..., x_n,....}，显然 E 是 S 的真子集。 ﹌﹌ 然後我定义一函数 f: E ---> S f(x) = ∣x 若 x 属於 S' ∣ ∣x _i 若 x = x_(i+1) i是任意正整数 这个函数f是我作出来的，而且很明显的f是个bijection函数。 所以存在一个 S 的真子集 E，使得 E~S 因为无限集的元素个数本来就是无限多个，把无限多这个数拿来互相讨论和比较大小 实在是一件很奇怪，所以特别创造了一个专有名词「基数」（Cardinal Number)。 所谓基数，简而言之便是集合的元素数量。 然後定义自然数集合 N 的基数叫做「χ_0」（读 Aleph-Null），这个符号只是 代表某个特别的无限大的数，就像π代表圆周率这个无限不循环小数一样。 为什麽特别呢？因为他是"最小的无限大的数" (干！我知道这很诡异，但实在是很难 用一般的地球语言去形容)。 我们再定义一件事就是若集合 S 的基数是χ_0，那我们称 S 为无限"可数"集， 换句话就是所有的自然数集合 N~S。 注意: 可数集(countable set)通常代表此集合是有限集 or 此集合的基数是χ_0 有可数集就一定有不可数集(uncountable set)，不可数集就是"不是可数集"的集合 还有不可数集一定是个无限集合。 由这此诡异的东西就会推导出以下诡异的结果： 自然数集合 N 的基数 = 所有整数集合 Z 的基数 = 有理数集合 Q 的基数 = χ_0 也就是说 N , Z , Q 都是 countable 实数集合 R 是不可数(uncountable)，也就是说 R 的基数 > χ_0 通俗一点的说反就是实数个数比整数、有理数还要多，而且是多很多 更奇怪的是无理数也是不可数的，所以无理数的数量会跟实数一样，但远大於有理数。 以上都是可以证明的唷…，但我相信各位看官，看到这边一定已经差不多口吐白沫， 经脉逆行…。所以就让我们继续证明下去吧~哈哈哈哈 (拖走~~~~~) (原po现在已经进入一种奇妙的精神状态) 我想大家也快不行了，我也打得有点累所以这些证明若有兴趣的话可以私下找我要。 保证有趣到你灵台炸裂。但请要相信原po是证得出来的…，好歹我也是国家精神研 究院的一份子(不要怀疑就是做被人研究的那一种)。 以下更多关於连续统假说及其重要性的说明 http://www.mikekong.net/Maths/Problems/CH01.html (图文版) 「无限！再没有其它的问题如此深刻地打动过人类的心灵。」，这是希尔伯特（Hilbert ）的名句，而所谓「连续统假设」──一个有关「无限」的问题，也在他的二十三个问题 中高据首位。但甚麽是「连续统假设」（Continuum Hypothesis）呢？何以这个假设又会 是一个问题？ 　　要说「连续统假设」，必须先说「无穷」或「无限」这个概念。人类对「无穷」基本 上有两个观点，一种是「潜无穷」，而另一种是「实无穷」。所谓「潜无穷」可以说是由 步往无穷的过程而得出的概念。例如：因为每一个自然数加以一後还是自然数，从而可知 自然数的数目有无穷多个。这个无穷的概念并不是确实存在，而是透过过程和对这过程的 认知来表现出来，所以称之为「潜无穷」。相反，「实无穷」则是承认「无穷」这东西的 实际存在，承认无穷集合是一个现实的、完成的、存在着的整体，是可以认识、可以掌握 和抓得住的东西。 「实无穷」的奠基者就是集合论之父──康托（Cantor），他也是提出「连续统假设」的 人。但实无穷跟连续统有何关系呢？到此又必须说「基数」（Cardinal Number）和「超 限数」（transfinite Number）的概念。所谓基数，简而言之便是集合的元素数量；而超 限数方面，简单来说就是代表实无穷的数。当集合内只有有限个元素时是很易理解的，但 当集合内有无限个元素时便需要超限数的帮助，例如：自然数集的元素数目（可数无穷， Countable Infinity），也是最小的超限数，我们称之为「χ_0」（读 Aleph-Null） 其中"χ"是希伯莱文的第一个字母。从集合论中可知道，任何集合的幂集（Power Set） 的基数都必比原本的集合的基数大，所以自然数集的幂集的基数必定是一个超限数，而且 比χ_0更大，由此可知「无穷」也有大小之分，且可以不断推展，即有无穷多个不同的实 无穷，而所谓「连续统」便是最小的不可数集合的基数，记为「χ_1」；「连续统假设」 也是由这点出发。 　　从上述的理解，可数集的幂集的基数，记为「2^χ_0」是比可数集的基数更大，而另 一方面，我们也知道连续统的基数也必比可数集的基数大，而且χ_1 ≦ 2^χ_0 ，那麽 一个最自然不过的问题，便是「上式的等号成立还是不等号成立呢？」如果不等式成立， 那麽在χ_1 及 2^χ_0之间会有多少个实无穷的基数存在呢？ 　　1878年，康托在一篇论文中作出了一个猜想，他想上式的等号是成立的，即 χ_1 = 2^χ_0，在《关於无穷线性点集（6）》中他提及到上述猜想是可以被证明的。 据说，他曾声称已证明这等式，但始终他没有把这证明公布，相信是他发现了该证明尚有 错误之原故。而现在人们称康托的这猜想为「连续统假设」（Continuum Hypothesis）， 缩写为「CH」。 豪斯道夫 　　1908年，豪斯道夫（Hausdorff）提出另一种的说法，即对某些序数α来说 2^χ_0 = χ_α，而现在人们则称豪斯道夫的这猜想为「广义连续统假设」 （Generalized Continuum Hypothesis）。 连续统假设的最终解答将对整个数学带来巨大的影响。连续统假设虽然是在集合论中提出 ，但在数学的各个领域特别是在实变函数论中，有很多等价命题及推论。以下摘录了一些 连续统假设的等价命题 1. 平面上所有的点的集合是两个集合的联，其中一个集合在所有与x轴平行的直线 上至多是可数的，另一个集合在y轴的所有平行线上至多是可数的。 2. 平面是可数条曲线的联。 3. 存在着实变数的集值函数f，且对於每一个实数x，其值f(x)是一个可数集合，它 把每一个不可数的实数集合映射为全体实数集合。 4. 全体实数集合是可数个递增的集合的联。 5. 每个基数小於χ_i_0的线性集合的测度为零。 6. 在希尔伯特空间（Hilbert Space）内，存在一个不可数的点集，它的每个不可 数子集合不能同胚（Homeomorphic）於欧几里得空间（Euclidean Space）的一 部分。 连续统假设的推论 1. 存在实数集的一个不可数子集，它和实数集的每个无处稠密集合的交集合至多是 可数的。 2. 在在实数集合内的一个不可数集合，它的每个连续象的测度为零。 3. 在实数集合内的一个不可数子集合上存在一个连续函数f使得它在该集的任一不 可数子集合上不是一致连续的。 4. 存在一个实变数函数的无穷序列f1，f2，f3…，它在每个不可数集合上收敛，但 不一致收敛。 5. 存在一些实数集合，在它们上面存在0类，1类，2类的贝塞尔（Bessel）函数，但在 每个集合上不存在3类贝塞尔函数。 　　从以上的命题可以看出，承认连续统假设和广义连续统假设，对许多数学定理的证明 是极其有用的。可是这也不可能说连续统假设是正确的，相反当某些推论被证明不可能时 ，便可以推论出连续统假设是不正确，而有关连续统假设的真伪便成为数学界争议不休的 问题了。 ========================看完後有没有觉得刺刺的、热热的========================== (我第一次看到时，觉得"踏马的"，怎麽把数学搞得这麽恶心，还我国高中的欢乐数学啦) 近代的数学就是靠公理化提供发展的基石，用集合将概念抽象化地定义下来 一次性地研究清楚同类型的所有问题，以便拓广拓深数学所能适用的范围。 还有很多人会觉得数学家常常想证明一些看似毫无用处or显而易见的命题， 像：1+1=2、算数基本定理、微积分基本定理，庞加莱猜想还有数论中一堆XXX猜想 其实重点不是在证明这些命题是不是对的，而是在证明的过程中会可能会发现一些 更本质的现象，这可能可以帮助我们从另一个角度或者更广范的角度来观察和看待 我们的世界，或者当用现有的数学工具证明不出来时，搅尽脑汁地发展出更好更 强而有力的数学工具或技巧去证明，而这些新的强而有力的数学工具和技巧或可能会 大幅度地促进我们科技文明的发展。 提一下希腊哲学(我不是哲学科班出身，只是看过一点闲书，所以可能会有些谬误，请 多包函) 哲学的领域大至上分为三大块，这三大块的分界有时并不是那麽明显，所以不能硬把他 们切割开来，大多数的哲学着作都会触及这三大块，只是偏重各有不同 第一类是 形上学：中国古书(忘了哪一本)中说：「形而上者谓之道，形而下者谓之器」 藉用了这一句话来命名形上学，是故形上学自然跟道有关，这里的道 比较适合理解为世界万物的本质，也可以看成是自然界的真理知识。 形上学简而言之就是在探讨什麽是真理，或者XX的本质是什麽？ 像我是谁？ 生命是什麽？ 什麽是美？ 什麽是善恶？ 神是什麽？ 诸如此类的问题，为了探讨这类型的问题就不得不考虑存有论。 当然这些问题通常都没有一定的答案。 第二类是 知识论：或者叫认识论。主要的内容在讲说，如果存在一个真理(知识)，那我 们该如何认识(学习)它。这时候经验主义和先验主义就会开始战很大 藉由经验归纳得来的知识和经由逻辑推演得到的知识谁比较可信。 康德的纯粹理性批判主要就是在处理与调和这两派的论点。 迪卡尔的那套我思故我在的论点也是属於知识论的范围 现在科学方法的主体就是由知识论发展出来的。 逻辑实证主义也是这类型的产物，只是它最後失败了。 第三类 伦理学：道德与伦理我自己是如此定义的，道德是在讲什麽是对的，伦理是在讲 我们应该怎麽做。伦理学主要的内容就是在讨论这两点。伦理学中战比 较大的是决定论(宿命论)和非决定论(随机)对於有无自由意志之争。 现代法律的学术理论基础，基本上就是从伦理学来的。 我自己认为希腊哲学是人类理性最光辉性的展现，人类运用天生的理性，创造了各种各 样的文明，但近代的文明，尤其是科技上的文明，实在无法忽略希腊哲学强而有力的支 柱。但我们还是要保持虚心，因为出了某个范为之後，人类的理性就开始当机了，变得 虚弱无比，最终只能承认人的有限和无知，这不是可以靠後天的学习和努力去突破的。 举凡大喊人定胜天，或科学可以解决一切问题的，不过是科学家或数学家的傲慢。 但我们也必须承认在某个范围之内，人的理性真是威到爆炸，能使黑夜白昼、日行万里 上天下地，近乎无所不能，所掌握的力量更是可以举着太阳之火焦土焚城、毁天灭地。 如何区分哪里是理性工作的范围，哪里却不是则需要智慧和真实地去学习和面对人的理性 而不是随着伪科学之流大喊现今科学无用论… 屁了这麽多，我想还是回到为什麽中国文明文化无法自行的发展出像传承自希腊文明的现 代数学，最主要有几个点： 第一，不力求系统的内在无矛盾化(一切自己说不清的就，道可道非常道，反正 就是玄之又玄，搞不好自己也不懂只好唬烂别人说「不要问，很恐怖」) 第二，对於显而易见的问题不去追根究底，想说「阿不就是这样吗？有什麽 好问为什麽的」(现在很多人也是这样，懒得想懒得思考，把诠释的权利 让给某些人，幻想单纯跟随盲从就可得到利益并免於迫害，进而造就出 历上多少狂人强人，促成了一个又一个人间悲剧) 第三，过度的诉诸於权威，权威不容挑战和怀疑，不然就是大逆不道 等……目前只暂时想到这些 当然这些只是我的一些观点，也许并不全面，世界上的问题尤其是社会上的现象 往往不是单一因素造成的，可能存在很多错宗复杂的原因，彼此交插影响，最终呈 现如些的结果。像也有其他原因造成上面那三点在中国社会中存在，所以到底是什麽 原因造成的，其实也很难理得清。 啊！打了这麽多，也许会有很多谬误，请大家多多指正包涵…谢谢 --

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