※ 引述《chienluen (小捻)》之銘言： 想問問下面兩題證明題~ Q1 Consider the second-order linear differential equation with constant coefficients y"(t)+p*y'(t)+q*y(t)=c. Prove that if p^2>4q the general solution is of the form y=d1*exp(r1*t)+d2*exp(r2*t)+c/q pf: 先定義兩個(線性)映射 D : D y(t) = y'(t) (微分映射) (只是讓式子乾淨而已) I : I y(t) = y(t) (恆等映射) 先考慮"齊次"(homogeneous)的情形，即 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 其特徵方程式為 λ^2 + p*λ + q = (λ-λ1)(λ-λ2) <其中λ1,λ2為其根> 因為題目已知 p^2 -4q > 0 ， 即表示λ1,λ2為兩相異實根。 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 → ( D - λ1*I )( D - λ2*I ) y(t) = 0 (利用一開始定義的映射將微方重新表示之) 令 z(t) = ( D - λ2*I ) y(t) ， 即 ( D - λ1*I ) z(t) = 0 → z'(t) - λ1*z(t) = 0 → z(t) = C3 * e^(λ1*t) (C3為常數) (從上一行到這一行應該不用解釋吧?) 則 ( D - λ2*I ) y(t) = C3 * e^(λ1*t) → y'(t) - λ2*y(t) = C3 * e^(λ1*t) → e^(-λ2*t) [y'(t) - λ2*y(t)] = C3 * e^(λ1*t-λ2*t) → [ e^(-λ2*t) * y(t) ]' = C3 * e^[(λ1-λ2)*t] C3 → e^(-λ2*t) * y(t) = ---------- * e^[(λ1-λ2)*t] + C2 (C2為常數) λ1-λ2 → y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1為常數，是上一行的C3變來的) 所以一個齊次二階常係數微分方程 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 若其特徵方程式之判別式 > 0 ，則其解為 y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數) 接著考慮"非齊性"(non-homogeneous)的情形 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c 今考慮一多項式m(t)，使得 m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c → [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0 則由齊次的結果，我們可知此微分方程的解為 y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數) 且由 m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c 可知，m(t)為一個常數多項式 則根據 [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0 可得 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = q*m(t) 又因 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c 可得 m(t) = c/q 所以此微分方程的解為 y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數) = c/q + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆為常數) -- --

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