※ 引述《chienluen (小捻)》之铭言： 想问问下面两题证明题~ Q1 Consider the second-order linear differential equation with constant coefficients y"(t)+p*y'(t)+q*y(t)=c. Prove that if p^2>4q the general solution is of the form y=d1*exp(r1*t)+d2*exp(r2*t)+c/q pf: 先定义两个(线性)映射 D : D y(t) = y'(t) (微分映射) (只是让式子乾净而已) I : I y(t) = y(t) (恒等映射) 先考虑"齐次"(homogeneous)的情形，即 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 其特徵方程式为 λ^2 + p*λ + q = (λ-λ1)(λ-λ2) <其中λ1,λ2为其根> 因为题目已知 p^2 -4q > 0 ， 即表示λ1,λ2为两相异实根。 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 → ( D - λ1*I )( D - λ2*I ) y(t) = 0 (利用一开始定义的映射将微方重新表示之) 令 z(t) = ( D - λ2*I ) y(t) ， 即 ( D - λ1*I ) z(t) = 0 → z'(t) - λ1*z(t) = 0 → z(t) = C3 * e^(λ1*t) (C3为常数) (从上一行到这一行应该不用解释吧?) 则 ( D - λ2*I ) y(t) = C3 * e^(λ1*t) → y'(t) - λ2*y(t) = C3 * e^(λ1*t) → e^(-λ2*t) [y'(t) - λ2*y(t)] = C3 * e^(λ1*t-λ2*t) → [ e^(-λ2*t) * y(t) ]' = C3 * e^[(λ1-λ2)*t] C3 → e^(-λ2*t) * y(t) = ---------- * e^[(λ1-λ2)*t] + C2 (C2为常数) λ1-λ2 → y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1为常数，是上一行的C3变来的) 所以一个齐次二阶常系数微分方程 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = 0 若其特徵方程式之判别式 > 0 ，则其解为 y(t) = C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆为常数) 接着考虑"非齐性"(non-homogeneous)的情形 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c 今考虑一多项式m(t)，使得 m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c → [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0 则由齐次的结果，我们可知此微分方程的解为 y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆为常数) 且由 m"(t) + p*m'(t) + q*m(t) = c 可知，m(t)为一个常数多项式 则根据 [ y(t)-m(t) ]" + p*[ y(t)-m(t) ]' + q*[ y(t)-m(t) ] = 0 可得 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = q*m(t) 又因 y"(t) + p*y'(t) + q*y(t) = c 可得 m(t) = c/q 所以此微分方程的解为 y(t) = m(t) + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆为常数) = c/q + C1 * e^(λ1*t) + C2 * e^(λ2*t) (C1,C2皆为常数) -- --

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