作者jellyfishing (淡藍滴水母)
看板ck61st323
標題[閒聊] 數學定理的證明
時間Sun Dec 20 12:57:55 2009
從這學期的微積分中我們學到了很多有名的定理~
從一開始的"極值定理"和與它同義的"有界定理"~
"勘根定理"和與它同義的"中間值定理"~
"微積分第一基本定理"和"微積分第二基本定理"~
"微小振幅定理"和"均勻連續定理"~
及其它不知名的小定理等等~
然而上面這兩組定理我們可以用直接證明把它證出來~
下面的例子則是都利用前一條證明後一條~
從"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~
推廣到"Cauchy's Mean-Value Theorem"，也就是"Generalized Mean-Value Theorem"~
而我們再利用上述定理證明了"l'Hopital Rule"~
但是這種層層傳遞的關係~
我們並不能說前一條的存在就是為了後一條而出現的~
從"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~
我們可以說它是一種推廣~
"Rolle's Theorem"告訴我們當兩端點之函數值相等時(令f(a)=f(b))~
中間必能找到某一點的切線斜率 = f(b) - f(a) ~
而我們把它更推廣到假使今天 f(a) 不等於 f(b) 時~
其實我們還是可以在中間找到一點的切線斜率為 f(b) - f(a) ~
"Cauchy's Mean-Value Theorem"即為"Generalized Mean-Value Theorem"~
"廣義平均變率定理"從名字上就知道它本來就是從"平均變率定理"而推廣的~
我們從f'(c)[g(b)-g(a)]=g'(c)[f(b)-f(a)]中~
不難發現令g(x)=x代入~
它不就變成大家所熟悉的"平均變率定理"了嗎~
而證明"l'Hopiatl Rule"時~
我們只能說我們是"利用"廣義平均變率定理去證明而已~
就如同我們利用"微小振幅定理"和"均勻連續定理"來證明
若f(x)在[a,b]連續，則f(x)在[a.b]可積一樣~
所以當我們使用一條定理去證明另一條定理時~
有時是"推廣"，有時是"利用"，或者有時是其他用途~
並不全然只是前一條定理只是為了證明後面那一條定理~
不然很多證明在定理出現的時間上就會有許多的矛盾~
我們可以利用"托勒密定理"證明"畢氏定理"~
總不能說"托勒密定理"是為了"畢氏定理"而存在的吧~
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◆ From: 123.194.60.211
1F：推 victoret:...有道理... 12/20 13:39
2F：→ victoret:數學系果然不一樣^^ 12/20 13:39
3F：→ victoret:...推廣和利用...謝啦水母 :D 12/20 13:39
※ 編輯: jellyfishing 來自: 123.194.60.211 (12/20 14:08)
4F：→ jellyfishing:其實通篇嘴砲吧我想XD，倒是這篇文賺了371p幣(大誤) 12/20 14:09
5F：推 eason1305:樓上我先推一個再說 12/20 14:27
6F：→ eason1305:還有俊霖我還要一個證明 12/20 14:27
7F：→ eason1305:證明: 柏嘉只有學術版才浮出水面 12/20 14:28
8F：→ robin3053:我不是還有po版拿票嗎，你這蠢貨 12/20 16:46
9F：→ eason1305:ㄛ對喔 不過你還是潛水王 12/20 17:06
10F：推 victoret:大煒才是新任潛水王吧? 12/20 18:50
11F：推 frankofranko:怎麼看都覺得版標實在是頗不錯 12/20 19:38
12F：→ frankofranko:但或許還無法完全的描述現在的揚凱= = 12/20 19:39
13F：推 evangelion:最近我去學浮潛了 12/20 21:11
14F：→ evangelion:溫故知新 揚凱好宅 12/20 21:11
15F：推 victoret:...大煒大宅宅 12/20 21:12
16F：→ victoret:...什麼和什麼... 12/20 21:13
17F：→ victoret:比起上一個版標...起碼這個版標是實話, 好嗎? 12/20 21:14
18F：→ jellyfishing:板標是有字數限制的，不然立凡請利用有限字數來描述 12/20 22:19
19F：→ jellyfishing:揚凱~ 12/20 22:19
20F：推 victoret:...好可怕... 12/20 22:59
21F：→ victoret:怎麼有那麼多可怕的東西... 12/20 22:59
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