从这学期的微积分中我们学到了很多有名的定理~ 从一开始的"极值定理"和与它同义的"有界定理"~ "勘根定理"和与它同义的"中间值定理"~ "微积分第一基本定理"和"微积分第二基本定理"~ "微小振幅定理"和"均匀连续定理"~ 及其它不知名的小定理等等~ 然而上面这两组定理我们可以用直接证明把它证出来~ 下面的例子则是都利用前一条证明後一条~ 从"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~ 推广到"Cauchy's Mean-Value Theorem"，也就是"Generalized Mean-Value Theorem"~ 而我们再利用上述定理证明了"l'Hopital Rule"~ 但是这种层层传递的关系~ 我们并不能说前一条的存在就是为了後一条而出现的~ 从"Rolle's Theorem"到"Mean-Value Theorem"~ 我们可以说它是一种推广~ "Rolle's Theorem"告诉我们当两端点之函数值相等时(令f(a)=f(b))~ 中间必能找到某一点的切线斜率 = f(b) - f(a) ~ 而我们把它更推广到假使今天 f(a) 不等於 f(b) 时~ 其实我们还是可以在中间找到一点的切线斜率为 f(b) - f(a) ~ "Cauchy's Mean-Value Theorem"即为"Generalized Mean-Value Theorem"~ "广义平均变率定理"从名字上就知道它本来就是从"平均变率定理"而推广的~ 我们从f'(c)[g(b)-g(a)]=g'(c)[f(b)-f(a)]中~ 不难发现令g(x)=x代入~ 它不就变成大家所熟悉的"平均变率定理"了吗~ 而证明"l'Hopiatl Rule"时~ 我们只能说我们是"利用"广义平均变率定理去证明而已~ 就如同我们利用"微小振幅定理"和"均匀连续定理"来证明 若f(x)在[a,b]连续，则f(x)在[a.b]可积一样~ 所以当我们使用一条定理去证明另一条定理时~ 有时是"推广"，有时是"利用"，或者有时是其他用途~ 并不全然只是前一条定理只是为了证明後面那一条定理~ 不然很多证明在定理出现的时间上就会有许多的矛盾~ 我们可以利用"托勒密定理"证明"毕氏定理"~ 总不能说"托勒密定理"是为了"毕氏定理"而存在的吧~ --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ◆ From: 123.194.60.211 ※ 编辑: jellyfishing 来自: 123.194.60.211 (12/20 14:08)