作者jellyfishing (淡藍滴水母)
看板ck61st323
標題[閒聊] 證明 Cauchy Mean-Value Theorem
時間Sat Dec 19 19:37:15 2009
Cauchy's Mean-Value Theorem (The Generalized Mean-Value Theorem)
設f(x)、g(x)在[a,b]連續，在(a,b)可微分，則存在一個c€(a,b)使得
f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]
pf：
令h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)] ， x€[a,b]
則h(x)在[a,b]連續，在(a,b)可微分，
且h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]，
又因為h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)
h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)
所以 h(a) = h(b)
則根據 Mean-Value Theorem ，存在一個c€(a,b) 使得 h'(c) = 0
→ f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]
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◆ From: 123.194.60.211
※ 編輯: jellyfishing 來自: 123.194.60.211 (12/19 20:05)
1F：推 robin3053:版主現身!!快拜 12/19 22:09
2F：→ robin3053:可是我一直覺的平均值定理啦，洛爾定理啊之類的都只是 12/19 22:11
3F：→ robin3053:連續函數同一種性質的不同描述方法罷了，互證沒什麼意思 12/19 22:12
4F：→ robin3053:但我也只會出一張嘴，叫我證我也不會XD 12/19 22:13
5F：推 victoret:...推樓上!!! 12/19 22:34
6F：→ victoret:可是這樣感覺起來這幾個定理... 12/19 22:34
7F：→ victoret:是為了證明其他的成立而存在的樣子... 12/19 22:34
8F：→ victoret:感覺起來就是, 我們沒辦法用直觀的方法來證明 Mean value 12/19 22:35
9F：→ victoret:theorem...於是就先想辦法證明 Rolle's theorem...然後再 12/19 22:35
10F：→ victoret:來 Mean value theorem...再來 Cauchy's mean value 12/19 22:36
11F：→ victoret:theorem...再來 L'Hospital rule...就這樣= = 12/19 22:36
12F：→ victoret:...其實我們可以請數學系的大神解釋一下... 12/19 22:38
13F：→ victoret:這些定理的存在...究竟是為了什麼而定義出來的呢??? 12/19 22:39
14F：→ victoret:到底是為了這樣傳遞式的, 只為了證明一個定理呢? 12/19 22:40
15F：→ victoret:還是原來有什麼更深的意義??? 12/19 22:41
16F：推 eason1305:證明好酷 柏嘉稀客 揚凱好宅 12/20 01:10
17F：→ evangelion:推樓上 12/20 21:08