作者jellyfishing (淡蓝滴水母)
看板ck61st323
标题[闲聊] 证明 Cauchy Mean-Value Theorem
时间Sat Dec 19 19:37:15 2009
Cauchy's Mean-Value Theorem (The Generalized Mean-Value Theorem)
设f(x)、g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可微分，则存在一个c€(a,b)使得
f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]
pf：
令h(x) = f(x)[g(b) - g(a)] - g(x)[f(b) - f(a)] ， x€[a,b]
则h(x)在[a,b]连续，在(a,b)可微分，
且h'(x) = f'(x)[g(b) - g(a)] - g'(x)[f(b) - f(a)]，
又因为h(a) = f(a)[g(b) - g(a)] - g(a)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)
h(b) = f(b)[g(b) - g(a)] - g(b)[f(b) - f(a)] = f(a)g(b) - g(a)f(b)
所以 h(a) = h(b)
则根据 Mean-Value Theorem ，存在一个c€(a,b) 使得 h'(c) = 0
→ f'(c)[ g(b) - g(a) ] = g'(c)[ f(b) - f(a) ]
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◆ From: 123.194.60.211
※ 编辑: jellyfishing 来自: 123.194.60.211 (12/19 20:05)
1F：推 robin3053:版主现身!!快拜 12/19 22:09
2F：→ robin3053:可是我一直觉的平均值定理啦，洛尔定理啊之类的都只是 12/19 22:11
3F：→ robin3053:连续函数同一种性质的不同描述方法罢了，互证没什麽意思 12/19 22:12
4F：→ robin3053:但我也只会出一张嘴，叫我证我也不会XD 12/19 22:13
5F：推 victoret:...推楼上!!! 12/19 22:34
6F：→ victoret:可是这样感觉起来这几个定理... 12/19 22:34
7F：→ victoret:是为了证明其他的成立而存在的样子... 12/19 22:34
8F：→ victoret:感觉起来就是, 我们没办法用直观的方法来证明 Mean value 12/19 22:35
9F：→ victoret:theorem...於是就先想办法证明 Rolle's theorem...然後再 12/19 22:35
10F：→ victoret:来 Mean value theorem...再来 Cauchy's mean value 12/19 22:36
11F：→ victoret:theorem...再来 L'Hospital rule...就这样= = 12/19 22:36
12F：→ victoret:...其实我们可以请数学系的大神解释一下... 12/19 22:38
13F：→ victoret:这些定理的存在...究竟是为了什麽而定义出来的呢??? 12/19 22:39
14F：→ victoret:到底是为了这样传递式的, 只为了证明一个定理呢? 12/19 22:40
15F：→ victoret:还是原来有什麽更深的意义??? 12/19 22:41
16F：推 eason1305:证明好酷 柏嘉稀客 扬凯好宅 12/20 01:10
17F：→ evangelion:推楼上 12/20 21:08