這個證明超超超超超麻煩的!!!!!!!!!! 看完你就會知道為什麼這麼久都沒人打了= = ...我想要有報酬...^^ 嚴謹的證明 L' Hospital's rule 需要拆成兩個部分... 1. Cauchy's mean value theorem 定義 : 假設函數 f 和 g 在 [ a, b ] 之間連續, ( a , b ) 之間可微, 且對於所有在 ( a, b ) 之間的 x, g'(x) 都不等於 0, 則在 ( a, b ) 之間必定可以找到一個數 c, 使得 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] 證明 : | 1 f(x) g(x) | h(x) = | 1 f(a) g(a) | ( 三階行列式 ) | 1 f(b) g(b) | = [ g(b) - g(a) ] f(x) + [ f(a) - f(b) ] g(x) + [ g(a)f(b) - f (a)g(b) ] 其中 h(a) = h(b) = 0 根據 Rolle's theorem 由於 h(x) 由 f(x) 和 g(x) 所構成, 故在 [ a, b ] 之間連續, ( a , b ) 之間可微, 又 h(a) = h(b) = 0, 故可在 ( a, b ) 之間找到一個數 c 使得 h'(c) = 0 故 [ g(b) - g(a) ] f'(c) + [ f(a) - f(b) ] g'(c) = h'(c) = 0 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] X 的...有夠長= = 而且還翻譯= = 而且現在才一半而已= = 我要禮物= = 2. L'Hospital's rule 定義 : 假設 f 和 g 是可微函數, 存在一個 a 在開區間 I 內, 且對於所有的 x 在開區間 I 內 g(x) 不等於 0, 除了 a 可能不符合之外 ( 這裡翻得不好, 英文是 " except possibly at a " ) 若 lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0, 或 lim f(x) 趨近正負無限大, lim g(x) 趨近正負無限大 其中 x 趨近於 a 也就是所謂的不定形 ( 0 / 0 或 無限大 / 無限大 ) 那麼 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趨近於 a 當右邊的極限存在時成立 證明 : 首先要讓 L = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趨近於 a 假設 F(x) = f(x) 當 x 不等於 a = 0 當 x 等於 a G(x) = g(x) 當 x 不等於 a = 0 當 x 等於 a 則 F 在 I 上連續 ( 因為 f 在 I 上連續, 除了 a 之外 ) 且 lim F(x) = lim f(x) = 0 = F(a) 所以 G(x) 在 I 亦連續 故 F(x) 和 G(x) 在 [ a, x ] 上連續且 ( a, x ) 上可微, 且 G' 不等於 0 ( 因為 F' = f', G' = g' ) 所以, by Cauchy's mean value theorem 有一個 y, a < y < x 使得 [ F'(y) / G'(y) ] = [ F(x) - F(a) ] / [ G(x) - G(a) ] = [ F(x) / G(x) ] 又知道 F(a) = 0, G(a) = 0 假設 x 趨近於 a+, y 趨近於 b+, 則 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ F(x) / G(x) ] = lim [ F'(x) / G'(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] = L 其中 x 趨近於 a+ 又, 可以以一樣的方法證明其左極限 故 lim [ f(x) / g(x) ] = L 其中 x 趨近於 a 另外是當 a 趨近於無限大時, t = 1 / x 則當 x 趨近於無限大, t 趨近於 0+, 故 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f(1/t) / g(1/t) ] = lim [ f'(1/t) * ( -1 / t^2 ) / g'(1/t) * ( -1 / t^2 ) ] = lim [ f'(1/t) / g'(1/t) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趨近於無限大, t 趨近於 0+ 好長好長好長... 如果有打錯還拜託幫忙 debug 一下 我覺得最好是會有人看完啦= = --

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