这个证明超超超超超麻烦的!!!!!!!!!! 看完你就会知道为什麽这麽久都没人打了= = ...我想要有报酬...^^ 严谨的证明 L' Hospital's rule 需要拆成两个部分... 1. Cauchy's mean value theorem 定义 : 假设函数 f 和 g 在 [ a, b ] 之间连续, ( a , b ) 之间可微, 且对於所有在 ( a, b ) 之间的 x, g'(x) 都不等於 0, 则在 ( a, b ) 之间必定可以找到一个数 c, 使得 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] 证明 : | 1 f(x) g(x) | h(x) = | 1 f(a) g(a) | ( 三阶行列式 ) | 1 f(b) g(b) | = [ g(b) - g(a) ] f(x) + [ f(a) - f(b) ] g(x) + [ g(a)f(b) - f (a)g(b) ] 其中 h(a) = h(b) = 0 根据 Rolle's theorem 由於 h(x) 由 f(x) 和 g(x) 所构成, 故在 [ a, b ] 之间连续, ( a , b ) 之间可微, 又 h(a) = h(b) = 0, 故可在 ( a, b ) 之间找到一个数 c 使得 h'(c) = 0 故 [ g(b) - g(a) ] f'(c) + [ f(a) - f(b) ] g'(c) = h'(c) = 0 f'(c) / g'(c) = [ f(b) - f(a) ] / [ g(b) - g(a) ] X 的...有够长= = 而且还翻译= = 而且现在才一半而已= = 我要礼物= = 2. L'Hospital's rule 定义 : 假设 f 和 g 是可微函数, 存在一个 a 在开区间 I 内, 且对於所有的 x 在开区间 I 内 g(x) 不等於 0, 除了 a 可能不符合之外 ( 这里翻得不好, 英文是 " except possibly at a " ) 若 lim f(x) = 0 且 lim g(x) = 0, 或 lim f(x) 趋近正负无限大, lim g(x) 趋近正负无限大 其中 x 趋近於 a 也就是所谓的不定形 ( 0 / 0 或 无限大 / 无限大 ) 那麽 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趋近於 a 当右边的极限存在时成立 证明 : 首先要让 L = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趋近於 a 假设 F(x) = f(x) 当 x 不等於 a = 0 当 x 等於 a G(x) = g(x) 当 x 不等於 a = 0 当 x 等於 a 则 F 在 I 上连续 ( 因为 f 在 I 上连续, 除了 a 之外 ) 且 lim F(x) = lim f(x) = 0 = F(a) 所以 G(x) 在 I 亦连续 故 F(x) 和 G(x) 在 [ a, x ] 上连续且 ( a, x ) 上可微, 且 G' 不等於 0 ( 因为 F' = f', G' = g' ) 所以, by Cauchy's mean value theorem 有一个 y, a < y < x 使得 [ F'(y) / G'(y) ] = [ F(x) - F(a) ] / [ G(x) - G(a) ] = [ F(x) / G(x) ] 又知道 F(a) = 0, G(a) = 0 假设 x 趋近於 a+, y 趋近於 b+, 则 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ F(x) / G(x) ] = lim [ F'(x) / G'(x) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] = L 其中 x 趋近於 a+ 又, 可以以一样的方法证明其左极限 故 lim [ f(x) / g(x) ] = L 其中 x 趋近於 a 另外是当 a 趋近於无限大时, t = 1 / x 则当 x 趋近於无限大, t 趋近於 0+, 故 lim [ f(x) / g(x) ] = lim [ f(1/t) / g(1/t) ] = lim [ f'(1/t) * ( -1 / t^2 ) / g'(1/t) * ( -1 / t^2 ) ] = lim [ f'(1/t) / g'(1/t) ] = lim [ f'(x) / g'(x) ] 其中 x 趋近於无限大, t 趋近於 0+ 好长好长好长... 如果有打错还拜托帮忙 debug 一下 我觉得最好是会有人看完啦= = --

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