※ 引述《ccshan (!@善#$終%^結&*)》之銘言： : 以下數學問題，出自《美國數學月刊》，2000 年 4 月號： : 某玩家與某莊家進行賭戲，規則如下：莊家一開始取綠球 n+1 個、紅球 n 個 : 置於碗中。之後隨著遊戲進行，這些球將被一一取出，取後捨棄不放回，取完遊戲 : 即告結束。玩家一開始持本金一元（可無限分割成零錢）。每回取球之前，玩家先 : 決定自己此回要賭多少錢，最少可以賭○元、最多可以將本金全部孤注一擲。玩家 : 說定自己賭金之後，莊家就從碗中取出一球（不一定隨機盲取）。若取綠球，則玩 : 家贏得賭金同等數量；若取紅球，則玩家的賭金全數輸給莊家。玩家盡力充足自己 : 最終的荷包，莊家則盡量榨取玩家最終的荷包。若雙方均採最佳策略，最後玩家的 : 荷包裡有多少錢？ : 這個問題其實不難，答案也很有趣，大家可以解看看，作個消遣。但是不知道 : 有沒有漂亮的證法呢？換句話說：為什麼答案是那樣的呢？ 直觀上, 玩家把一元平分成 2n+1 份最有利, 即每回出 1/(2n+1) 元, 最後最多剩下 (n+1)/(2n+1) 元. 在此情況下, 每回莊家隨便給綠球或紅球都一樣, 給完為止. 但如果玩家有一回出 x < 1/(2n+1) 元, 莊家適時給綠球, 則其餘 1-x 元平分下注時, 玩家可拿回 (1-x)n/(2n) = (1-x)/2 元, 總計 (1+x)/2 元, 此值小於前述 (n+1)/(2n+1) 元, 對玩家不利. 如果玩家有一回出 x > 1/(2n+1) 元, 莊家適時給紅球, 其餘 1-x 元平分下注, 則玩家可拿回 (1-x)(n+1)/2n 元, 亦小於 (n+1)/(2n+1) 元, 對玩家不利. 所以答案是這樣吧? 沒有真的證明, 但好像有點頭緒了. 可憐的玩家, 再怎麼樣也拿不回本錢. -- Chemists have solutions. Chih-Kai Lin Research Assistant of IAMS, Academia Sinica Email: [email protected] --

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