1 Eg. lim { ---- } = 0 n n a_n = {1/n} ---------------------------------------------------- Pupil vs 老師Cauchy vs 助教Weierstrass ---------------------------------------------------- Pupil : 請問老師，這個數列的極限為何? 我 n 代100 ，a_n = 0.01 n 代10000 ，a_n = 0.0001 n 愈來愈大 ，a_n愈來愈小！ 我可以說 1/n 之極限為 " 0 " 嗎 !? 老師Cauchy : 可以的，但要注意，與其說a_n愈來愈小...不如說a_n愈來愈靠近 0 所以才以 0 為其極限。 Pupil ：怪哉，但 1/n 恆不為 0 也 ! 其中可有予盾之處 ? 老師Cauchy : 無盾予也，說 "a_n 之極限為 0" ........... P 意思是 "a_n 愈來愈靠近 0" ........... P 與 "a_n =\= 0 (for every n)" ....... Q 是兩回事，可同時成立。 Pupil : 似有理也。但學生以為，Q為一算術語句 a_n = 0 或 a_n =\= 0 清楚無疑。但 P : "a_n 愈來愈靠近 0" 似乎是自然的語言，人類的語 言，有辦法把它定義的更清楚嗎 ? 老師Cauchy : "愈來愈靠近" 就是 n 愈來愈大，|a_n - 0| 愈來愈小。 小的程度隨 n 愈來愈大而愈來愈小... Pupil : 我有點迷糊了... 這所謂 "愈來愈" 的意思到底是 .... ? 老師Cauchy : 嗯,,, 時間到了，今天就先下課吧~"~ --- 滿腹疑問的Pupil 只好跑去找助教W ... 助教W : 我大概知道你的疑問了，我也思考這問題良久了... Pupil : 是阿! 這 "愈來愈"的意是到底是啥!! 助教W : 不然這樣吧 既然你說 { 1/n } 的極限是 0 我就來挑戰你一下 Pupil : 好吧 助教W : 你說 |1/n - 0| 為愈來愈小，到底是有多小呢 ? Pupil : 應該是想多小，就有多小吧... 助教W : 比如說 |1/n - 0| 可以比十分之一還小嗎 ? Pupil : 可以吧 ! 比如 n 代 11 就 ok 助教W : 可是 n代1,2,3, ..., 10 都不行啊 Pupil : n代1,2,3, ..., 10 確實不行啊，但 n代11就可以, 12也行 助教W : 所以n要夠大才行 ? Pupil : 你說的對 ! 助教W : 好吧，我今天要求 |1/n - 0| 比十分之一還小 ，n比10大的話的確過關，但如果我要求 a_n 更靠近 0 呢? Pupil : 不然你想多靠近? 先說好，你也知道 a_n 決不會等於0喔 ! 助教W : 我知道 |a_n - 0| = 0 辦不到，那我要求 |1/n - 0| 比 0.0001還小好了 Pupil : 也太看不起人了吧 : |1/n - 0| < 0.0001 也就是 1/n < 0.0001 也就是 n > 10 000 所以 n = 10001, 10002, 10003, ...... 都 ok ! 助教W : 但... Pupil : 我知道 我知道 ，n比10000小的話就不合你的要求 但n比10000大總是都 ok ! 助教W : 但這次你的n要大於 10000了， 剛剛你的n只要大於10就好了 Pupil : (癈話!) 嗯...助教，因為你這次要求更靠近了呀 .... 前回 : 要求 : |a_n - 0| < 1/10 回應 : n必須要大於10 今回 : 要求 : |a_n - 0| < 0.0001 回應 : n必須要更大了(多大?) n必須要大於10000 助教W : 好吧，那我再要求... Pupil : 等一下 ! 不管你怎麼要求，只要是何理的，我總可以告訴你n要多大就可以 滿足你的要求! 助教W : 怎麼說 ? Pupil : 比如說你要求 |a_n - 0| < e， (Given epsilon) 只要是何理的 就是你不能說 e=0 或 e= -1等等， (epsilon >0) 我總可以告訴你n要多大 (there is a N) 就可以 (For all n > N) 滿足你的要求! (|a_n - 0| < e) 助教W : 你這個 N ... Pupil : 這個 N 要算一下 : |a_n - 0| < e |1/n - 0| < e 1/n < e n > 1/e 所以 N 要選一個比 1/e還大的自然數 助教W : 你要選給我看 Pupil : ....這麼機車 好吧 N = [1/e] + 1 好了 助教W : 你這 +1 很奇怪 我可以 +2嗎 pupil : 當然 : n > N = [1/e] +2 時 必有 n > 1/e 助教W : 的確，不管我的e怎麼要求，你這個N都可足以應附 |a_n-0|<e 這個要求 pupil : 所以 .. ? 助教W : 所以剛剛一連的過程就是極限的定義了 關鍵在找這個N pupil : 好像是 ，只要這個N找出來 就能滿足 "要多靠近，有多靠近了" 助教W : yes， 1. 你宣稱 a_n 的極限是 L (這通常由觀察而得) 2. 所以你就 宣稱 "for all (you give me) e > 0, exists (i can find) a natural number N, s.t whenever n > n , (i can show you) |a_n - L| < e 3. 為了證明這件事 你就真的要去找這個N 而因為這個 N 是為了 應付 |a_n - L| < e 而生 所以 我們要從 |a_n - L| < e 出發 來看看 N 要底要取到什麼程度 才能滿足你這貪得無厭的 e Pupil : 喔喔 ! 這樣說的確很清楚了 W : 來發paper吧，我們會名留青史 --------------------------------------------------------------------- 以此文紀念現代分析之父 : Karl Weierstrass (German : 1815 - 1897) --

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