1 Eg. lim { ---- } = 0 n n a_n = {1/n} ---------------------------------------------------- Pupil vs 老师Cauchy vs 助教Weierstrass ---------------------------------------------------- Pupil : 请问老师，这个数列的极限为何? 我 n 代100 ，a_n = 0.01 n 代10000 ，a_n = 0.0001 n 愈来愈大 ，a_n愈来愈小！ 我可以说 1/n 之极限为 " 0 " 吗 !? 老师Cauchy : 可以的，但要注意，与其说a_n愈来愈小...不如说a_n愈来愈靠近 0 所以才以 0 为其极限。 Pupil ：怪哉，但 1/n 恒不为 0 也 ! 其中可有予盾之处 ? 老师Cauchy : 无盾予也，说 "a_n 之极限为 0" ........... P 意思是 "a_n 愈来愈靠近 0" ........... P 与 "a_n =\= 0 (for every n)" ....... Q 是两回事，可同时成立。 Pupil : 似有理也。但学生以为，Q为一算术语句 a_n = 0 或 a_n =\= 0 清楚无疑。但 P : "a_n 愈来愈靠近 0" 似乎是自然的语言，人类的语 言，有办法把它定义的更清楚吗 ? 老师Cauchy : "愈来愈靠近" 就是 n 愈来愈大，|a_n - 0| 愈来愈小。 小的程度随 n 愈来愈大而愈来愈小... Pupil : 我有点迷糊了... 这所谓 "愈来愈" 的意思到底是 .... ? 老师Cauchy : 嗯,,, 时间到了，今天就先下课吧~"~ --- 满腹疑问的Pupil 只好跑去找助教W ... 助教W : 我大概知道你的疑问了，我也思考这问题良久了... Pupil : 是阿! 这 "愈来愈"的意是到底是啥!! 助教W : 不然这样吧 既然你说 { 1/n } 的极限是 0 我就来挑战你一下 Pupil : 好吧 助教W : 你说 |1/n - 0| 为愈来愈小，到底是有多小呢 ? Pupil : 应该是想多小，就有多小吧... 助教W : 比如说 |1/n - 0| 可以比十分之一还小吗 ? Pupil : 可以吧 ! 比如 n 代 11 就 ok 助教W : 可是 n代1,2,3, ..., 10 都不行啊 Pupil : n代1,2,3, ..., 10 确实不行啊，但 n代11就可以, 12也行 助教W : 所以n要够大才行 ? Pupil : 你说的对 ! 助教W : 好吧，我今天要求 |1/n - 0| 比十分之一还小 ，n比10大的话的确过关，但如果我要求 a_n 更靠近 0 呢? Pupil : 不然你想多靠近? 先说好，你也知道 a_n 决不会等於0喔 ! 助教W : 我知道 |a_n - 0| = 0 办不到，那我要求 |1/n - 0| 比 0.0001还小好了 Pupil : 也太看不起人了吧 : |1/n - 0| < 0.0001 也就是 1/n < 0.0001 也就是 n > 10 000 所以 n = 10001, 10002, 10003, ...... 都 ok ! 助教W : 但... Pupil : 我知道 我知道 ，n比10000小的话就不合你的要求 但n比10000大总是都 ok ! 助教W : 但这次你的n要大於 10000了， 刚刚你的n只要大於10就好了 Pupil : (癈话!) 嗯...助教，因为你这次要求更靠近了呀 .... 前回 : 要求 : |a_n - 0| < 1/10 回应 : n必须要大於10 今回 : 要求 : |a_n - 0| < 0.0001 回应 : n必须要更大了(多大?) n必须要大於10000 助教W : 好吧，那我再要求... Pupil : 等一下 ! 不管你怎麽要求，只要是何理的，我总可以告诉你n要多大就可以 满足你的要求! 助教W : 怎麽说 ? Pupil : 比如说你要求 |a_n - 0| < e， (Given epsilon) 只要是何理的 就是你不能说 e=0 或 e= -1等等， (epsilon >0) 我总可以告诉你n要多大 (there is a N) 就可以 (For all n > N) 满足你的要求! (|a_n - 0| < e) 助教W : 你这个 N ... Pupil : 这个 N 要算一下 : |a_n - 0| < e |1/n - 0| < e 1/n < e n > 1/e 所以 N 要选一个比 1/e还大的自然数 助教W : 你要选给我看 Pupil : ....这麽机车 好吧 N = [1/e] + 1 好了 助教W : 你这 +1 很奇怪 我可以 +2吗 pupil : 当然 : n > N = [1/e] +2 时 必有 n > 1/e 助教W : 的确，不管我的e怎麽要求，你这个N都可足以应附 |a_n-0|<e 这个要求 pupil : 所以 .. ? 助教W : 所以刚刚一连的过程就是极限的定义了 关键在找这个N pupil : 好像是 ，只要这个N找出来 就能满足 "要多靠近，有多靠近了" 助教W : yes， 1. 你宣称 a_n 的极限是 L (这通常由观察而得) 2. 所以你就 宣称 "for all (you give me) e > 0, exists (i can find) a natural number N, s.t whenever n > n , (i can show you) |a_n - L| < e 3. 为了证明这件事 你就真的要去找这个N 而因为这个 N 是为了 应付 |a_n - L| < e 而生 所以 我们要从 |a_n - L| < e 出发 来看看 N 要底要取到什麽程度 才能满足你这贪得无厌的 e Pupil : 喔喔 ! 这样说的确很清楚了 W : 来发paper吧，我们会名留青史 --------------------------------------------------------------------- 以此文纪念现代分析之父 : Karl Weierstrass (German : 1815 - 1897) --

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