有一些容易產生誤解的地方來解釋一下 xD ※ 引述《iForests (森林)》之銘言： : ‧浮點數誤差‧ : 　　用到 double 時是無論如何都得提到浮點數誤差的，不過這裡只打算亂講。簡單來說 : 是這樣，當你放例如 5 在變數裡時，電腦有可能存 4.9999999999999999999999999999。 : 原則上是沒有差別，但有時候會造成影響。使徒三是個好例子，很多人寫一寫可能會發現 : 印出來的東西竟然有 -0.000，其原因正是因為變數值為像 -0.00000000000002147483647 : 這種後面接了一些怪東西的值（只是隨便打的）。因此輸出時認為它不是 0，而是一個很 : 小很小的負數，所以取 3 位小數時印出 -0.000。 這裡可能會誤導人。雖然原因應該是有一個很小的負數， 但是真的有 -0 這個東西。浮點數格式有 -0 和 +0 :) 我剛才發現 Wiki 還有介紹 xD http://en.wikipedia.org/wiki/%E2%88%920_(number) : 　　解法方法很簡單，我們加一個很小很小又不至於太小的數給它，例如 1e-10。 : -0.00000000000002147483647 : +0.0000000001 : ------------------------------ : 0.00000000009997852516353 : 　　這樣一來，用 %.3lf 印出時，答案就會是 0.000 了。 這地方有一點小問題，請看下面。 : ‧數學函式‧ （使用前需先 #include <math.h>） : 首先，π = 2.0 * acos(0.0) = 3.1415926535897932384626433832795。 : ↑這是確確實實的 0.0 而不是表情符號 : 　　sin()、cos() 等等函數傳入的參數必須使用弳度而非角度，轉換方法高中數學課應 : 有提過，總之：弳度 = 角度 * π / 180。 這邊似乎有點太理想了 xDDDD 上面這一行丟到編譯器去執行 得出來的結果應該是 3.141592653589793115997963468544185161590576171875... (double) 而不是 3.1415926535897932384626433832795... (真的圓周率) 對了，也可以直接用 acos (-1) 喔！ : 推 LoganChien:#include <float.h> 之後，你可以用 DBL_MAX 代表極大 09/30 22:40 : → LoganChien:的值(double 可以表示的最大值) 09/30 22:40 : 推 LoganChien:檢查二個 double 是否相同，最好用下面的公式，以減少 09/30 22:48 : → LoganChien:意外。﹝誤差造成的﹞ 09/30 22:48 : → LoganChien:fabs(a - b) < DOUBLE_PRECISION_EPSILON 09/30 22:49 : → LoganChien:let DOUBLE_PRECISION_EPSILON = 1e-9. 09/30 22:49 以上是用絕對誤差來實作，通常也都不會有什麼問題， 不過如果更深入了解 double 的格式的話， 就會知道 double 的誤差是相對的而不是絕對的。 意思是說，對於 1000000000 來說 1e-9 的誤差比較容易發生， 但對於 0.000001 來說 1e-9 就比較不容易了。 （可參考 http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 或是計概應該會教） 事實上「浮點數」在字面上就講明小數點是「浮動」的 例如，一般我們寫成 5000 和 0.0005 的兩個數， 就實際上在記憶體中浮點數的儲存方法來看， 應該理解成 5 * 10^3 和 5 * 10^-4 比較恰當 所以誤差是相對的而不是絕對的 （附註：電腦裡面用的是二進位，所以更接近 x * 2^y） 那到底要怎麼去處理浮點數的誤差？ 這是個很複雜的問題，端看你的目的而定。 以下這篇文章有講如何比較兩個數字是否一樣： http://www.cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm 另外我在這邊提供一個思考的觀點， 到底要允許計算中有多大的誤差可以用最後的要求來定， 例如這次的作業可能要求小數點以下三位， 如果你估計最後的答案是 1000 附近（我只是舉例） 那麼你可能就要讓你整個運算的相對誤差控制在 0.0000005 以內 (0.5e-6) 或是絕對誤差控制在 0.0005 以內 (0.5e-3) 這樣子最後印出來時才會和正確（沒有誤差）的答案比較接近。 運算中的誤差傳遞我相信普物應該有教 xDDD 大致上來說，加法比較不會讓誤差擴大太快 lol 該講的講完了，至於要怎麼寫，套一句劉墉的話，「你自己決定吧！」 : → LoganChien:1. 單純的習慣，我也有看過有人用 1e-8, 1e-10 10/01 00:11 : → LoganChien:2. (印象中) C++ 標準規定 double 最低精確度是 1e-9 10/01 00:12 我相信到這邊 1 應該比較清楚了 至於 2 又要花篇幅講了～ 由於大家學的是 C，加上我沒有看過最新 C++0x 的標準 所以在這裡我只講 C99 的狀況 C99 的標準後面的 Annex F 有講說 C 裡面的 float, double, long double 和 IEC 60559:1989 (也就是 ANSI/IEEE 754-1985) 如何對應 簡單來說，要研究 C 的 double 是怎麼運算的，可以查閱上述標準的 倍精浮點數（double-precision floating point number） 先一下歷史和題外話 xD 其實除了 IEEE 754-1985 以外 還有一個 IEEE 854 的標準也在規定浮點數的運算 啊不過最近 IEEE 754-2008 (又稱 IEEE 754r... 名稱超多 - -|||) 把這兩個舊標準都吃掉了 ANSI/IEEE 754-xxxx 和 ISO/IEC 9899:1999 (C99 的標準) 都是要$$$$$的 還好在官網上面可以下載定案前的 "draft" (非正式版，但是跟正式版很接近這樣) 而且也有很多依照這些標準寫的教學網站，好讀好懂又免費！ 好，那這些標準到底怎麼規定誤差的呢？ 就像之前講的，這些標準有訂出 double 在記憶體上應該怎麼儲存， 格式會接近這樣： （有一些例外的狀況請自己看文章：http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating-point_standard ） S 1.XXXXXXXXX * 2^YYYYYYY 例如 + 1.00010100 * 2^(+001011) 每個亮色的地方都要花記憶體儲存，而 double 短短 64 bits 就由這三部份所瓜分 S 是正負號（一個 bit 就夠了），YYYYY 的長度決定後面的指數部份可以多大多小， 而 XXXXX 的長度決定了精確度，一切的罪孽都是來自 XXXXX 不夠長 -v- double 的 YYYY 和 XXXX 都比 float 的 YYYY 和 XXXX 還多位， 所以不僅可以處理比較大的數字，數字也可以存比較多位（誤差小）。 double 的 XXXX 只有 52 位～ 電腦要把運算結果塞回記憶體中時，很可能就會產生誤差！ 預設的誤差處理方法是二進位的「四捨六入五取雙」 大致上是取最接近運算答案的表示方法～ 講到這邊，聰明的大家應該就可以知道， 單純因為 double 儲存格式產生的相對誤差大約是 2^-5X (有些小細節我不想講了 orz) 大約是 10^-15 ~ 10^-16 左右 （也就是十進位下大約有 15 位 xD 大家可以看前面的圓周率大約第幾位開始爆炸） 至於 C++ 我猜應該也是用同樣的標準玩的 有興趣歡迎補充 xDDDD -- 我在 P2 也有版喔 xD 同 ID 喵～ --

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