有一些容易产生误解的地方来解释一下 xD ※ 引述《iForests (森林)》之铭言： : ‧浮点数误差‧ : 　　用到 double 时是无论如何都得提到浮点数误差的，不过这里只打算乱讲。简单来说 : 是这样，当你放例如 5 在变数里时，电脑有可能存 4.9999999999999999999999999999。 : 原则上是没有差别，但有时候会造成影响。使徒三是个好例子，很多人写一写可能会发现 : 印出来的东西竟然有 -0.000，其原因正是因为变数值为像 -0.00000000000002147483647 : 这种後面接了一些怪东西的值（只是随便打的）。因此输出时认为它不是 0，而是一个很 : 小很小的负数，所以取 3 位小数时印出 -0.000。 这里可能会误导人。虽然原因应该是有一个很小的负数， 但是真的有 -0 这个东西。浮点数格式有 -0 和 +0 :) 我刚才发现 Wiki 还有介绍 xD http://en.wikipedia.org/wiki/%E2%88%920_(number) : 　　解法方法很简单，我们加一个很小很小又不至於太小的数给它，例如 1e-10。 : -0.00000000000002147483647 : +0.0000000001 : ------------------------------ : 0.00000000009997852516353 : 　　这样一来，用 %.3lf 印出时，答案就会是 0.000 了。 这地方有一点小问题，请看下面。 : ‧数学函式‧ （使用前需先 #include <math.h>） : 首先，π = 2.0 * acos(0.0) = 3.1415926535897932384626433832795。 : ↑这是确确实实的 0.0 而不是表情符号 : 　　sin()、cos() 等等函数传入的参数必须使用弪度而非角度，转换方法高中数学课应 : 有提过，总之：弪度 = 角度 * π / 180。 这边似乎有点太理想了 xDDDD 上面这一行丢到编译器去执行 得出来的结果应该是 3.141592653589793115997963468544185161590576171875... (double) 而不是 3.1415926535897932384626433832795... (真的圆周率) 对了，也可以直接用 acos (-1) 喔！ : 推 LoganChien:#include <float.h> 之後，你可以用 DBL_MAX 代表极大 09/30 22:40 : → LoganChien:的值(double 可以表示的最大值) 09/30 22:40 : 推 LoganChien:检查二个 double 是否相同，最好用下面的公式，以减少 09/30 22:48 : → LoganChien:意外。﹝误差造成的﹞ 09/30 22:48 : → LoganChien:fabs(a - b) < DOUBLE_PRECISION_EPSILON 09/30 22:49 : → LoganChien:let DOUBLE_PRECISION_EPSILON = 1e-9. 09/30 22:49 以上是用绝对误差来实作，通常也都不会有什麽问题， 不过如果更深入了解 double 的格式的话， 就会知道 double 的误差是相对的而不是绝对的。 意思是说，对於 1000000000 来说 1e-9 的误差比较容易发生， 但对於 0.000001 来说 1e-9 就比较不容易了。 （可参考 http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_754-2008 或是计概应该会教） 事实上「浮点数」在字面上就讲明小数点是「浮动」的 例如，一般我们写成 5000 和 0.0005 的两个数， 就实际上在记忆体中浮点数的储存方法来看， 应该理解成 5 * 10^3 和 5 * 10^-4 比较恰当 所以误差是相对的而不是绝对的 （附注：电脑里面用的是二进位，所以更接近 x * 2^y） 那到底要怎麽去处理浮点数的误差？ 这是个很复杂的问题，端看你的目的而定。 以下这篇文章有讲如何比较两个数字是否一样： http://www.cygnus-software.com/papers/comparingfloats/comparingfloats.htm 另外我在这边提供一个思考的观点， 到底要允许计算中有多大的误差可以用最後的要求来定， 例如这次的作业可能要求小数点以下三位， 如果你估计最後的答案是 1000 附近（我只是举例） 那麽你可能就要让你整个运算的相对误差控制在 0.0000005 以内 (0.5e-6) 或是绝对误差控制在 0.0005 以内 (0.5e-3) 这样子最後印出来时才会和正确（没有误差）的答案比较接近。 运算中的误差传递我相信普物应该有教 xDDD 大致上来说，加法比较不会让误差扩大太快 lol 该讲的讲完了，至於要怎麽写，套一句刘墉的话，「你自己决定吧！」 : → LoganChien:1. 单纯的习惯，我也有看过有人用 1e-8, 1e-10 10/01 00:11 : → LoganChien:2. (印象中) C++ 标准规定 double 最低精确度是 1e-9 10/01 00:12 我相信到这边 1 应该比较清楚了 至於 2 又要花篇幅讲了～ 由於大家学的是 C，加上我没有看过最新 C++0x 的标准 所以在这里我只讲 C99 的状况 C99 的标准後面的 Annex F 有讲说 C 里面的 float, double, long double 和 IEC 60559:1989 (也就是 ANSI/IEEE 754-1985) 如何对应 简单来说，要研究 C 的 double 是怎麽运算的，可以查阅上述标准的 倍精浮点数（double-precision floating point number） 先一下历史和题外话 xD 其实除了 IEEE 754-1985 以外 还有一个 IEEE 854 的标准也在规定浮点数的运算 啊不过最近 IEEE 754-2008 (又称 IEEE 754r... 名称超多 - -|||) 把这两个旧标准都吃掉了 ANSI/IEEE 754-xxxx 和 ISO/IEC 9899:1999 (C99 的标准) 都是要$$$$$的 还好在官网上面可以下载定案前的 "draft" (非正式版，但是跟正式版很接近这样) 而且也有很多依照这些标准写的教学网站，好读好懂又免费！ 好，那这些标准到底怎麽规定误差的呢？ 就像之前讲的，这些标准有订出 double 在记忆体上应该怎麽储存， 格式会接近这样： （有一些例外的状况请自己看文章：http://en.wikipedia.org/wiki/IEEE_floating-point_standard ） S 1.XXXXXXXXX * 2^YYYYYYY 例如 + 1.00010100 * 2^(+001011) 每个亮色的地方都要花记忆体储存，而 double 短短 64 bits 就由这三部份所瓜分 S 是正负号（一个 bit 就够了），YYYYY 的长度决定後面的指数部份可以多大多小， 而 XXXXX 的长度决定了精确度，一切的罪孽都是来自 XXXXX 不够长 -v- double 的 YYYY 和 XXXX 都比 float 的 YYYY 和 XXXX 还多位， 所以不仅可以处理比较大的数字，数字也可以存比较多位（误差小）。 double 的 XXXX 只有 52 位～ 电脑要把运算结果塞回记忆体中时，很可能就会产生误差！ 预设的误差处理方法是二进位的「四舍六入五取双」 大致上是取最接近运算答案的表示方法～ 讲到这边，聪明的大家应该就可以知道， 单纯因为 double 储存格式产生的相对误差大约是 2^-5X (有些小细节我不想讲了 orz) 大约是 10^-15 ~ 10^-16 左右 （也就是十进位下大约有 15 位 xD 大家可以看前面的圆周率大约第几位开始爆炸） 至於 C++ 我猜应该也是用同样的标准玩的 有兴趣欢迎补充 xDDDD -- 我在 P2 也有版喔 xD 同 ID 喵～ --

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