作者w4a2y4 (阿甯)
看板b04902xxx
標題Fw: [代數] 群的order問題
時間Sat Jun 11 17:08:15 2016
群論好難 大家期末加油T_T
※ [本文轉錄自 Math 看板 #1EMsP6_N ]
作者: Giawgwan (教官) 看板: Math
標題: Re: [代數] 群的order問題
時間: Mon Aug 29 18:13:22 2011
: 1.Find all groups of order 14 up to isomorphism.
: 2.Find all groups of order 15 up to isomorphism.
: 我不懂為何出14又出15共兩題
: 差別所在?
先不管解法, 前面已經有網友解了, 而且是對的.
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但這裡想試著回答文中問到的問題: 為什麼要出兩題, 又出 14 又出 15?
這是非常好的大哉問!
我個人覺得, 這問題要回到更根本才能解決. 而且我想, 在無法體會幹嘛這樣連續問兩
題時, 硬背後面的解法 (而且很不簡單) 是沒有什麼意義的.
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非常隨便地說, 一個群就是 "一堆東西, 隨便挑兩個出來都可以摻在一起(得到另一個東
西)". "東西" 就是群的元素, "摻" 就是群的運算. 精確一點, 書上說,
一個集合 "G" , 有個運算 "*". 此集合的元素在這個運算下有封閉性, 結合律, 有單位
元素, 有反元素, 就說 (G,*) 是一個群. (如果 * 省略掉不會造成誤會, 直接就說 G
是一個群).
但這到底是什麼意思????
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時鐘的時針刻度有 12 格, 我們來轉時針.
G= {0,1,2,3,.. 11} 分別代表將時針 {順時針轉零格, 轉一格, 轉兩格, ..., 轉 11 格}.
然後我們規定運算 "+" 是順時針轉: 5+2 表示先轉五格, 再轉兩格.
底下的形容都顯然到像廢話, 但是這些直觀就是群的概念:
1. 轉兩次反正就相當於某個轉: 5+2=7, 8+6=2. 0+6=6.
(若 a,b 在群中則 a+b 在群中.
專業術語: 群有封閉性 "closure")
2. (轉兩格+轉三格)+轉五格 = 轉兩格+(轉三格+轉五格)
((a+b)+c=a+(b+c),
專業術語: 群有結合律 "associativity")
3. 有個東西叫 "轉零格"(就是不轉).
(0+a=a, a+0=a.
專業術語: 群有單位元素 "identity")
4. 已經轉了五格, 再轉七格就等於沒轉. 5+7=0.
(對於 a, 都有 b, 使得 a+b=0. 這個 b 叫做 a 的反元素, 可記為 (-a).
轉時針中, 5 的反元素是 7, 就是說 -5=7.
專業術語: 群的每一個元素有反元素 "inverse".)
所以 G={0,1,2,...,11}= {順時針轉零格, 轉一格, 轉兩格, ......, 轉 11 格}
在 "+" 這個運算之下, 有封閉性, 結合律, 有單位元素, 有反元素.
就是說, 轉時針是一個群.
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不只如此, "轉時針群" 給我們很多啟示:
(0) 因為一到 12 就歸零 (8+7=3, 19=7), 故只有 12 個元素 (order=12).
所以這是一個有限群.
(1) "先轉五格再轉四格" 等於 "先轉四格再轉五格" 5+4=4+5, a+b=b+a.
所以這是一個交換群.
(2) "轉一格" 重複數次可以得到任一個元素 (4=1+1+1+1).
所以這是一個循環群.
總之這是一個 order=12 的, 交換的, 循環群.
群論的符號把這個群叫做 Z_12.
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但是問題是, 還有其他 "order =12 的群".
看這個例子: 對於一個正六邊形, 你可以旋轉或翻面 (然後放回原來位置), 這些動作當
然也構成一個群, 而且也有 12 個元素 (一共有十二種放回原來位置的方法.)
但很不幸, 雖然元素一樣多, 但是這個群和撥時針完全不同: 比如 "先轉 60 度再左右翻
" 結果就不會等於 "先左右翻再轉 60 度"
所以這個群不是交換群. 但是轉時針群是交換群, 所以這兩個群結構完全不一樣. 專業術
語就是這兩個群不同構 (not isomorphic).
群論的符號把翻轉六邊形這個群叫做 "二面體群 D_6".
上面的解釋告訴我們 Z_12 和 D_6 不同構.
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現在問題就來了.
假設我只知道這個群有 12 個元素 (order=12), 那到底有幾個不同構的群?
回到習題. 所以應該可以體會, 為什麼習題會有兩題:
第一題要找出所有 14 個元素的, 不同構的群.(up to isomorphism 意思是同構不算新的)
第一題要找出所有 15 個元素的, 不同構的群.
顯然 14 和 15 這兩個數字一定有一些本質上的差別. 是的. 繼續往下看.
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一般來說, 我只知道這個群有 n 個元素, 那到底有幾個本質上不同構的群?
傑克, 這是大哉問!!!
答案是什麼? 答案是: 沒有公式. 只能慢慢地分析, 抽絲剝繭慢慢找. 可以看原文回文
Minkowski 網友的解法, 14 和 15 解法很不一樣.
我只能說, n 差一點點, 會差非常多.
n=13 時有 1 個
n=14 時有 2 個, Z_14 和 D_7 <---- 習題解答
n=15 時有 1 個, Z_15 <---- 習題解答
n=16 時有 14 個 (!)
n=17 時有 1 個
n=18 時有 5 個
...
n=62 時有 2 個
n=63 時有 4 個
n=64 時有 267 個 (!!!)
n=65 時有 1 個
n=66 時有 4 個
初學群論會學到一些定理, 讓我們快一點.
比如 "如果 n=質數 p, 則只有一個, 而且就是 Z_p".
比如 "循環群一定是交換群"
等等等.
n 如果不是質數, 或沒有什麼資訊時, 就非常麻煩. 群論中的 Sylow 定理, 就是用來分析
的重要工具, 但是也只能解決一些.
基本上 n 一大時, 而且因數很多時, 真的沒什麼辦法, 到現在都還有學術論文研究中.
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群論的一大部分就是在研究群的結構面, 粗淺來說就是把群分類. 原 po 中提到的兩個習
題就是問如何把 order=14 或 order=15 的群做完整分類. 群論的另外的一大部分是來研
究研究群作用在其他東西上時會發生的事, 這稱為 "群表現論".
不過這扯遠了, 就此打住. 希望這些解釋對學群論的同學有點幫助. 這是一個非常抽象,
也非常實際而美麗的學問.
2011, 森棚教官
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※ 轉錄者: w4a2y4 (61.226.93.132), 06/11/2016 17:08:15
※ 編輯: w4a2y4 (61.226.93.132), 06/11/2016 17:09:54
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