群论好难 大家期末加油T_T ※ [本文转录自 Math 看板 #1EMsP6_N ] 作者: Giawgwan (教官) 看板: Math 标题: Re: [代数] 群的order问题 时间: Mon Aug 29 18:13:22 2011 : 1.Find all groups of order 14 up to isomorphism. : 2.Find all groups of order 15 up to isomorphism. : 我不懂为何出14又出15共两题 : 差别所在？ 先不管解法, 前面已经有网友解了, 而且是对的. --------- 但这里想试着回答文中问到的问题: 为什麽要出两题, 又出 14 又出 15? 这是非常好的大哉问! 我个人觉得, 这问题要回到更根本才能解决. 而且我想, 在无法体会干嘛这样连续问两 题时, 硬背後面的解法 (而且很不简单) 是没有什麽意义的. --------- 非常随便地说, 一个群就是 "一堆东西, 随便挑两个出来都可以掺在一起(得到另一个东 西)". "东西" 就是群的元素, "掺" 就是群的运算. 精确一点, 书上说, 一个集合 "G" , 有个运算 "*". 此集合的元素在这个运算下有封闭性, 结合律, 有单位 元素, 有反元素, 就说 (G,*) 是一个群. (如果 * 省略掉不会造成误会, 直接就说 G 是一个群). 但这到底是什麽意思???? ---------- 时钟的时针刻度有 12 格, 我们来转时针. G= {0,1,2,3,.. 11} 分别代表将时针 {顺时针转零格, 转一格, 转两格, ..., 转 11 格}. 然後我们规定运算 "+" 是顺时针转: 5+2 表示先转五格, 再转两格. 底下的形容都显然到像废话, 但是这些直观就是群的概念: 1. 转两次反正就相当於某个转: 5+2=7, 8+6=2. 0+6=6. (若 a,b 在群中则 a+b 在群中. 专业术语: 群有封闭性 "closure") 2. (转两格+转三格)+转五格 = 转两格+(转三格+转五格) ((a+b)+c=a+(b+c), 专业术语: 群有结合律 "associativity") 3. 有个东西叫 "转零格"(就是不转). (0+a=a, a+0=a. 专业术语: 群有单位元素 "identity") 4. 已经转了五格, 再转七格就等於没转. 5+7=0. (对於 a, 都有 b, 使得 a+b=0. 这个 b 叫做 a 的反元素, 可记为 (-a). 转时针中, 5 的反元素是 7, 就是说 -5=7. 专业术语: 群的每一个元素有反元素 "inverse".) 所以 G={0,1,2,...,11}= {顺时针转零格, 转一格, 转两格, ......, 转 11 格} 在 "+" 这个运算之下, 有封闭性, 结合律, 有单位元素, 有反元素. 就是说, 转时针是一个群. ---------- 不只如此, "转时针群" 给我们很多启示: (0) 因为一到 12 就归零 (8+7=3, 19=7), 故只有 12 个元素 (order=12). 所以这是一个有限群. (1) "先转五格再转四格" 等於 "先转四格再转五格" 5+4=4+5, a+b=b+a. 所以这是一个交换群. (2) "转一格" 重复数次可以得到任一个元素 (4=1+1+1+1). 所以这是一个循环群. 总之这是一个 order=12 的, 交换的, 循环群. 群论的符号把这个群叫做 Z_12. ---------- 但是问题是, 还有其他 "order =12 的群". 看这个例子: 对於一个正六边形, 你可以旋转或翻面 (然後放回原来位置), 这些动作当 然也构成一个群, 而且也有 12 个元素 (一共有十二种放回原来位置的方法.) 但很不幸, 虽然元素一样多, 但是这个群和拨时针完全不同: 比如 "先转 60 度再左右翻 " 结果就不会等於 "先左右翻再转 60 度" 所以这个群不是交换群. 但是转时针群是交换群, 所以这两个群结构完全不一样. 专业术 语就是这两个群不同构 (not isomorphic). 群论的符号把翻转六边形这个群叫做 "二面体群 D_6". 上面的解释告诉我们 Z_12 和 D_6 不同构. ---------- 现在问题就来了. 假设我只知道这个群有 12 个元素 (order=12), 那到底有几个不同构的群? 回到习题. 所以应该可以体会, 为什麽习题会有两题: 第一题要找出所有 14 个元素的, 不同构的群.(up to isomorphism 意思是同构不算新的) 第一题要找出所有 15 个元素的, 不同构的群. 显然 14 和 15 这两个数字一定有一些本质上的差别. 是的. 继续往下看. ---------- 一般来说, 我只知道这个群有 n 个元素, 那到底有几个本质上不同构的群? 杰克, 这是大哉问!!! 答案是什麽? 答案是: 没有公式. 只能慢慢地分析, 抽丝剥茧慢慢找. 可以看原文回文 Minkowski 网友的解法, 14 和 15 解法很不一样. 我只能说, n 差一点点, 会差非常多. n=13 时有 1 个 n=14 时有 2 个, Z_14 和 D_7 <---- 习题解答 n=15 时有 1 个, Z_15 <---- 习题解答 n=16 时有 14 个 (!) n=17 时有 1 个 n=18 时有 5 个 ... n=62 时有 2 个 n=63 时有 4 个 n=64 时有 267 个 (!!!) n=65 时有 1 个 n=66 时有 4 个 初学群论会学到一些定理, 让我们快一点. 比如 "如果 n=质数 p, 则只有一个, 而且就是 Z_p". 比如 "循环群一定是交换群" 等等等. n 如果不是质数, 或没有什麽资讯时, 就非常麻烦. 群论中的 Sylow 定理, 就是用来分析 的重要工具, 但是也只能解决一些. 基本上 n 一大时, 而且因数很多时, 真的没什麽办法, 到现在都还有学术论文研究中. ----- 群论的一大部分就是在研究群的结构面, 粗浅来说就是把群分类. 原 po 中提到的两个习 题就是问如何把 order=14 或 order=15 的群做完整分类. 群论的另外的一大部分是来研 究研究群作用在其他东西上时会发生的事, 这称为 "群表现论". 不过这扯远了, 就此打住. 希望这些解释对学群论的同学有点帮助. 这是一个非常抽象, 也非常实际而美丽的学问. 2011, 森棚教官 -- ********************************* * 雄壮 威武 严肃 刚直 安静 坚强 * * 确实 速捷 沉着 忍耐 机警 勇敢 * * 我是教官 教官是我 * * 每个人都记嘉奖一支 * ********************************* --

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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc) ※ 转录者: w4a2y4 (61.226.93.132), 06/11/2016 17:08:15 ※ 编辑: w4a2y4 (61.226.93.132), 06/11/2016 17:09:54