查資料的時候找到的 覺得寫的不錯大家加減看看吧ˊˇˋ ※ [本文轉錄自 Math 看板 #1Ezr169b ] 作者: PaulErdos (My brain is open) 看板: Math 標題: Re: [微積] 泰勒與馬克勞林級數有什麼關係阿 時間: Mon Dec 26 00:33:07 2011 ※ 引述《sparta40 (該死的斯巴達)》之銘言： : 感覺這兩個級數非常相似 : 所以想了解一下他們的關係 : 可不可以請大大稍微解惑，或是講講古@@ : PS：我實在搞不懂創造 這兩個級數 有什麼好處 多項式是一個很棒的函數 好處之一是它可以微分無限多次 這種函數應該發予良民證 實在太棒了 不過就這點而言還不夠特別 指數函數、三角函數也都可以發予良民證 多項式還有一個好處是比較好代值 13 8 5 譬如說 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2 如果我們要算 P(3.01) 很煩 但起碼能算 但像是sin1 就不會算那麼久 因為根本不會 所以就有個想法 當我遇到一個函數的時候 我可不可以寫出一個多項式 是跟它很接近的呢? 或者至少 在我要算的點附近是很接近的 譬如說剛剛的sin1 如果我的多項式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也夠用了 待我寫出來以後 那麼 在這所謂的"附近" 裡面 就可以把我原來想對那個函數所做的一些事情 改對這個多項式做 舉凡 代入、加減乘除、次方、微分、積分 所以當然 這個"附近" 便越大越好 在這"附近"裡頭 我們說這個多項式收斂到那個函數 那麼 到底要怎麼在a點的附近 用多項式p(x)逼近一個函數f(x)呢 ? 首先 當然最好能 f(a) ＝ p(a) 再來 如果f可以微分的話, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了 更逼近 . . . (n) (n) 得寸近尺 只要f可以微分n次 我也希望 f (a) ＝ p (a) 按照這個想法, 就可以寫出 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 你可以等號兩邊代a 看是否相等 微分一次以後代a 看是否相等 微分n次以後代a 看是否相等 於是你便可以知道 為什麼泰勒級數長這個樣子 用這個就可以很輕易寫出 x 1 2 1 n e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ... 2! n! 1 3 sinx ＝ x － ─ x ＋ ... 3! 1 2 cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ... 2! 而這三個函數的泰勒級數 收斂區間都是整個實數 x 我們知道 e 微分以後會等於自己 我們現在把它的泰勒級數微分看看 1微分以後是0 x微分以後是1 .... 後面每一項微分都變前一項 但它有無窮多項 所以真的等於自己 你還可以再檢查 sinx的泰勒級數 微分之後就變成cosx的泰勒級數 cosx的泰勒級數 微分之後就變成sinx的泰勒級數整個多負號 不過 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 告訴你的 只不過是一般性的做法 一般而言 只要f可以微分n次 我就可以照著操做寫出一個n次多項式來逼近 卻不代表 (1) 寫出來的東西會有足夠大的區間 有可能寫出來卻發現只在一個點逼近 (2) 只能這樣寫 事實上我們還是可以根據不同的函數 用不同的方法寫出多項式出來 Brook Taylor提出他的理論是1715年的事情 然而十七世紀那些微積分先鋒們 -1 就已經寫出 sinx cosx tanx 等等函數的多項式展開 各自用了些奇奇怪怪的辦法 不過 我們不需要會一些奇招怪技 只需要會一些很基本的辦法 1 譬如說 ── , 除了用那個一般性做法 1－x 2 n 也可以直接寫出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ .... 為什麼呢?　 因為那就是無窮等比級數的和呀 從此還得知了 收斂區間就是 (-1,1) 1 那麼 ─── 呢 ? 1＋2x 1 把它看成 ──── 就可以了 也就是說 用-2x代在x 1－(-2x) 2 所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ... ㏑(1＋x) 呢 ? 1 它就是 ─── 的積分嘛 1＋x 2 3 所以先寫出 1－x ＋x －x ＋ .... 2 x 然後積分出 c＋x －─＋ ... 2 因為㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0 2 x 所以就寫出 ㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ... 2 那如果是sinxcosx 呢 ? 可以各自展開以後再相乘 sin(2x) 也可以看成 ──── 所以從sinx的展開代2x 再整個一半 2 -1 1 tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛 1＋x^2 再舉個例子 tanx－sinx lim ────── x→0 x^3 一個方法是乖乖地羅必達三次 但我們也可以寫出它們的泰勒展開 變成 3 3 x x (x＋─＋ ...) － (x－─＋... ) 3 3! lim ─────────────── 不必展太多項 x→0 x^3 1 1 1 馬上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─ 3 6 2 大概是這樣 --

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