查资料的时候找到的 觉得写的不错大家加减看看吧ˊˇˋ ※ [本文转录自 Math 看板 #1Ezr169b ] 作者: PaulErdos (My brain is open) 看板: Math 标题: Re: [微积] 泰勒与马克劳林级数有什麽关系阿 时间: Mon Dec 26 00:33:07 2011 ※ 引述《sparta40 (该死的斯巴达)》之铭言： : 感觉这两个级数非常相似 : 所以想了解一下他们的关系 : 可不可以请大大稍微解惑，或是讲讲古@@ : PS：我实在搞不懂创造 这两个级数 有什麽好处 多项式是一个很棒的函数 好处之一是它可以微分无限多次 这种函数应该发予良民证 实在太棒了 不过就这点而言还不够特别 指数函数、三角函数也都可以发予良民证 多项式还有一个好处是比较好代值 13 8 5 譬如说 P(x)＝ x ＋4x －3x ＋ x － 2 如果我们要算 P(3.01) 很烦 但起码能算 但像是sin1 就不会算那麽久 因为根本不会 所以就有个想法 当我遇到一个函数的时候 我可不可以写出一个多项式 是跟它很接近的呢? 或者至少 在我要算的点附近是很接近的 譬如说刚刚的sin1 如果我的多项式只能在 [0,2] 很接近 sinx 那也够用了 待我写出来以後 那麽 在这所谓的"附近" 里面 就可以把我原来想对那个函数所做的一些事情 改对这个多项式做 举凡 代入、加减乘除、次方、微分、积分 所以当然 这个"附近" 便越大越好 在这"附近"里头 我们说这个多项式收敛到那个函数 那麽 到底要怎麽在a点的附近 用多项式p(x)逼近一个函数f(x)呢 ? 首先 当然最好能 f(a) ＝ p(a) 再来 如果f可以微分的话, f'(a) ＝ p'(a) 就更好了 更逼近 . . . (n) (n) 得寸近尺 只要f可以微分n次 我也希望 f (a) ＝ p (a) 按照这个想法, 就可以写出 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 你可以等号两边代a 看是否相等 微分一次以後代a 看是否相等 微分n次以後代a 看是否相等 於是你便可以知道 为什麽泰勒级数长这个样子 用这个就可以很轻易写出 x 1 2 1 n e ＝ 1 ＋ x ＋ ─ x ＋ ... ＋ ─ x ＋ ... 2! n! 1 3 sinx ＝ x － ─ x ＋ ... 3! 1 2 cosx ＝ 1 － ─ x ＋ ... 2! 而这三个函数的泰勒级数 收敛区间都是整个实数 x 我们知道 e 微分以後会等於自己 我们现在把它的泰勒级数微分看看 1微分以後是0 x微分以後是1 .... 後面每一项微分都变前一项 但它有无穷多项 所以真的等於自己 你还可以再检查 sinx的泰勒级数 微分之後就变成cosx的泰勒级数 cosx的泰勒级数 微分之後就变成sinx的泰勒级数整个多负号 不过 (n) f"(a) 2 f (a) n f(x) ＝ f(a) ＋f'(a)(x－a)＋── (x－a) ＋ ... ＋ ── (x－a) ＋... 2! n! 告诉你的 只不过是一般性的做法 一般而言 只要f可以微分n次 我就可以照着操做写出一个n次多项式来逼近 却不代表 (1) 写出来的东西会有足够大的区间 有可能写出来却发现只在一个点逼近 (2) 只能这样写 事实上我们还是可以根据不同的函数 用不同的方法写出多项式出来 Brook Taylor提出他的理论是1715年的事情 然而十七世纪那些微积分先锋们 -1 就已经写出 sinx cosx tanx 等等函数的多项式展开 各自用了些奇奇怪怪的办法 不过 我们不需要会一些奇招怪技 只需要会一些很基本的办法 1 譬如说 ── , 除了用那个一般性做法 1－x 2 n 也可以直接写出 1＋x ＋x ＋ ... ＋x ＋ .... 为什麽呢?　 因为那就是无穷等比级数的和呀 从此还得知了 收敛区间就是 (-1,1) 1 那麽 ─── 呢 ? 1＋2x 1 把它看成 ──── 就可以了 也就是说 用-2x代在x 1－(-2x) 2 所以就是 1＋(-2x)＋(-2x) ＋ ... ㏑(1＋x) 呢 ? 1 它就是 ─── 的积分嘛 1＋x 2 3 所以先写出 1－x ＋x －x ＋ .... 2 x 然後积分出 c＋x －─＋ ... 2 因为㏑(1＋0) ＝ c＋0＋0＋.... 可以得知c＝0 2 x 所以就写出 ㏑(1＋x) ＝ x －─＋ ... 2 那如果是sinxcosx 呢 ? 可以各自展开以後再相乘 sin(2x) 也可以看成 ──── 所以从sinx的展开代2x 再整个一半 2 -1 1 tan(x) 呢 ? 它的微分是 ─── 嘛 1＋x^2 再举个例子 tanx－sinx lim ────── x→0 x^3 一个方法是乖乖地罗必达三次 但我们也可以写出它们的泰勒展开 变成 3 3 x x (x＋─＋ ...) － (x－─＋... ) 3 3! lim ─────────────── 不必展太多项 x→0 x^3 1 1 1 马上就看出答案是 ─ ＋ ─ ＝ ─ 3 6 2 大概是这样 --

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