: 按Equal大的解釋 ∞+1 = ∞ : 那合理的說 : ∞+2 = ∞ 也對 : ∞+∞ = ∞ 也對 : 那, 請問要怎麼證明: (number of "9" in 9.9...) = (number of "9" in 0.99...) + 1 : 而不是 . . . . . . . . . . . . . = . . . . . . . . . . . . . + ∞ : 而且必須是剛好? : : 所以有兩種推測 : 1. 無法計算(因為無法得知誰比較多or比較少) : 2. 是應該是剛好一樣多, 扣除整數的"9" 則 : 9.999......9... : - 0.999......9...9 : 8.9999...9999..1 : : 如果你們還堅持 10x 0.99..之後, 會perfectly剛好多出一個"9" (不多不少剛好一個) 沒有什麼多一少一個 9 的問題, 就都是無窮多阿 只要是 0.99....後面無窮多個 9, 他們就是同樣的東西（都是可數無窮多） 除非你要說 10*0.99...=9.9999999.... ^^^^^^^^^^^ 這後面的 9 不是無窮多 但是這不可能, 因為有限數 + 有限數 = 有限數 所以如果那後面的 9 不是無窮多, 那再加一個 9 也不是無窮多 這就跟 Hilbert 的無限旅館的問題一樣 宇宙中有個無限旅館, 有無限個房間 今天有一個旅人來了 沒想到非常不巧, 旅館裡面已經住滿了無限多個旅客, 沒空房了怎麼辦？ 旅館主人就說, 阿沒關係, 就請現在每個住宿的旅客搬到下一間房間 第一間不就空出來了嗎？ 因為有無窮多個房間, 所以每個住宿者隔壁肯定都還有一間房間 就請他搬到下一間就好了 同樣, 如果無限旅館客滿了, 又有無限個客人今天又要來住怎麼辦？ 很簡單, 把 n 號房的搬到 2n 號房, 奇數房間就都空出來了 這個就是之前討論的自然數跟正偶數一樣多的問題 : 推 Equalmusic:樓上的不用這樣吧...先說一句 ∞ 基本上不能拿來加減 06/06 00:08 : 不能拿來減, 你又減...... : 9.99... - 0.99... = 9 我是說 ∞ 不能拿來加減, 又不是說 0.99...不能拿來加減, 這兩個差很多...囧rz 9.99... - 0.99...= 9 + 0.99... - 0.99... = 9 假設同一個符號代表同一個數的話, 這當然可以成立 噯, 我分析很弱...只能說說我的看法吧 囧rz ∞ 不在實數域 R = (-∞, ∞) 裡面 前面有說過了, 這叫 archimedean property 當然你也可以討論 non-archimedean 的情況, 但是那會出現我前面說的 Σ2^n = -1 這種東西 n = (0, ∞) 所以實數域裡面一般的加減乘除用在 ∞ 上基本上是沒搞頭的 這高中應該就有學過, ∞ 如果能拿來加減 那就會出現 ∞ = 1 + ∞ => 0 = 1 之類的東西 簡單的說你前面說什麼幾個 9 的, 已經完全搞錯方向了 因為你沒辦法探討後面無限大比較的問題 那怎麼辦？就不要走這條路阿, 你的論證沒辦法從這邊出發 這就是我剛才說要把 ∞ 避開的意思 與其討論後面有幾個 9, 改討論 x^n (x < 1, n->∞) 不是比較容易嗎？ -- 「但如果你在懼怯中，只想尋求愛的恬靜和愛的愉悅， 那麼不如遮掩著你的裸體，避開愛的打穀場，進入那無季節的世界， 在那兒你會歡笑，但非全心的笑，你會哭泣，卻非盡情的哭。」 - Kahlil Gibran --

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