剛剛找到一篇文章，作者是＜與南共舞BBS站>的Nicholas 板友，因為不知道怎麼聯絡到本人，所以請容許我未經同意的 轉載。如果原作不願意文章被轉錄，麻煩寫信告知，我會刪除 本文。 ============================================================================= 本文轉錄自＜與南共舞BBS telnet://wolf.twbbs.org＞ 作者 Nicholas (南裔台北人) 站內 Mathematics 標題 Re: 1+1=2 時間 Tue May 18 09:17:31 2004 ※ 引述《arabica (憂鬱症..)》之銘言： > 請問...1+1=2 > 要怎麼證明= =... > 我們數學老師說可以證明... > 有點不太相信說.. 十九世紀末,數學家是這麼做的(例如Dedekind): 我們把1,2,3,...和加法當作已知，不去定義它，像"點"和"屬於"一樣, 定義符號 n^+ = n + 1 , 假如有一個無窮集合ω滿足這五條公設: 1. 1屬於ω 2. 若n屬於ω,則n^+也屬於ω 3. 對每一個n屬於ω,n^+不等於0 4. 若ω的一個子集X滿足公設1與2,則X就是ω 5. 若n,m屬於ω,且n^+=m^+,則n=m 則我們稱ω為自然數,記為Ｎ. 所以我們把自然數這個集合定義完了,它是由我們已知的1,2,3,...和 已知的加法定義出來的. 這時的1+1=2是不用證的． 二十世紀的數學家對於這種定義無法滿足，主要是因為集合論的發展， 使得數學家想要把所有的東西都用集合與函數來表示，於是von Neumann 清楚定義自然數如下: [定義] 0 = Φ 1 = {0} = {Φ} 2 = {0,1} = {Φ,{Φ}} ... [定義] A^+ = A∪{A} 得到 0 = Φ 1 = 0^+ 2 = 1^+ ... 加法可以定成滿足下列兩個性質的函數，唯一性是可以證明的: [定義] A1. m+0=m A2. m+(n)^+=(m+n)^+ 於是我們可以證明1+1=2 proof: 1+1=1+(0)^+ by 1的定義 =(1+0)^+ by A2 =(1)^+ by A1 =(1)^+ by A1 =2 by 2的定義 但是如果你是數學家，你就可以看出這樣實在令人很不滿足，因為 我只定義個別的自然數，自然數所成的集合卻無法"有限地"寫出來， 當怎麼寫都寫不完時，這東西真的具體存在嗎？ 所以只好接受一個假設： 　　存在一個這樣的無窮集合 這是集合論重要的一條公設，稱為無窮公設． 而像這樣定義之後，我們可以證明自然數是唯一的，這樣才算有定 義好，不像我叫做陳志偉，這個菜市場名表示我爸媽沒把我定義好． 二十世紀的定法可以證明十九世紀的五條公設，所以這五條就變成 定理，這件事告訴我們，數學的嚴謹性是因時而異，前人覺得嚴謹 ，以後可能變得不嚴謹． 1898年,Whitehead和他的學生Russell在"數學原理"三巨冊中,給了 數學邏輯式的推導,建立了數學的基礎,版上有人一直傳言"1+1=2" 要證明100多頁,可能是因為這部書在第二冊才提到它.到目前為止 ,這是最"嚴謹"的了.(第110條定理) 至於為什麼要把0定義成空集合,你只要把空集合的另一個符號"{}" 寫出來,便可以發現它正是代表沒有東西的狀態,相似的,1則是裡面 有一個東西的集合,{Φ}.這不是很自然嗎? 至於自然數有沒有包含0？ 可有可無,端看定義． 若覺得零不自然，因為人類數數是從一開始數，那就把零排除． 若是從上述集合論的觀點來看，少了零才不自然． 只要定義清楚就沒問題了． 不過我覺得把零排除，以後使用起來比較方便． 據說，台灣好像普遍採用排除零的自然數系． --

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