刚刚找到一篇文章，作者是＜与南共舞BBS站>的Nicholas 板友，因为不知道怎麽联络到本人，所以请容许我未经同意的 转载。如果原作不愿意文章被转录，麻烦写信告知，我会删除 本文。 ============================================================================= 本文转录自＜与南共舞BBS telnet://wolf.twbbs.org＞ 作者 Nicholas (南裔台北人) 站内 Mathematics 标题 Re: 1+1=2 时间 Tue May 18 09:17:31 2004 ※ 引述《arabica (忧郁症..)》之铭言： > 请问...1+1=2 > 要怎麽证明= =... > 我们数学老师说可以证明... > 有点不太相信说.. 十九世纪末,数学家是这麽做的(例如Dedekind): 我们把1,2,3,...和加法当作已知，不去定义它，像"点"和"属於"一样, 定义符号 n^+ = n + 1 , 假如有一个无穷集合ω满足这五条公设: 1. 1属於ω 2. 若n属於ω,则n^+也属於ω 3. 对每一个n属於ω,n^+不等於0 4. 若ω的一个子集X满足公设1与2,则X就是ω 5. 若n,m属於ω,且n^+=m^+,则n=m 则我们称ω为自然数,记为Ｎ. 所以我们把自然数这个集合定义完了,它是由我们已知的1,2,3,...和 已知的加法定义出来的. 这时的1+1=2是不用证的． 二十世纪的数学家对於这种定义无法满足，主要是因为集合论的发展， 使得数学家想要把所有的东西都用集合与函数来表示，於是von Neumann 清楚定义自然数如下: [定义] 0 = Φ 1 = {0} = {Φ} 2 = {0,1} = {Φ,{Φ}} ... [定义] A^+ = A∪{A} 得到 0 = Φ 1 = 0^+ 2 = 1^+ ... 加法可以定成满足下列两个性质的函数，唯一性是可以证明的: [定义] A1. m+0=m A2. m+(n)^+=(m+n)^+ 於是我们可以证明1+1=2 proof: 1+1=1+(0)^+ by 1的定义 =(1+0)^+ by A2 =(1)^+ by A1 =(1)^+ by A1 =2 by 2的定义 但是如果你是数学家，你就可以看出这样实在令人很不满足，因为 我只定义个别的自然数，自然数所成的集合却无法"有限地"写出来， 当怎麽写都写不完时，这东西真的具体存在吗？ 所以只好接受一个假设： 　　存在一个这样的无穷集合 这是集合论重要的一条公设，称为无穷公设． 而像这样定义之後，我们可以证明自然数是唯一的，这样才算有定 义好，不像我叫做陈志伟，这个菜市场名表示我爸妈没把我定义好． 二十世纪的定法可以证明十九世纪的五条公设，所以这五条就变成 定理，这件事告诉我们，数学的严谨性是因时而异，前人觉得严谨 ，以後可能变得不严谨． 1898年,Whitehead和他的学生Russell在"数学原理"三巨册中,给了 数学逻辑式的推导,建立了数学的基础,版上有人一直传言"1+1=2" 要证明100多页,可能是因为这部书在第二册才提到它.到目前为止 ,这是最"严谨"的了.(第110条定理) 至於为什麽要把0定义成空集合,你只要把空集合的另一个符号"{}" 写出来,便可以发现它正是代表没有东西的状态,相似的,1则是里面 有一个东西的集合,{Φ}.这不是很自然吗? 至於自然数有没有包含0？ 可有可无,端看定义． 若觉得零不自然，因为人类数数是从一开始数，那就把零排除． 若是从上述集合论的观点来看，少了零才不自然． 只要定义清楚就没问题了． 不过我觉得把零排除，以後使用起来比较方便． 据说，台湾好像普遍采用排除零的自然数系． --

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