※ 引述《Eyeba11 (油炸眼球)》之銘言： : 不好意思，在書上看到有兩題不太清楚， : 想拜託一下看有沒有大大能了解他為什麼這樣做…… : 一、在xy平面上，a<x<2a及b<y<2b間為一金屬薄板，設此板之質量密度與坐標x成正比， : 則金屬板之質心坐標為？ : 二、試求均質半圓板的質量中心，設a為圓半徑。 : 第一題的正解： : 質量密度σ=kx→dm=σdA=σdxdy : 2b 2a : ∫xdm ∫∫xσdxdy ∫ ∫ xkxdxdy : b a : A. X= ─── = ────── = ─────── : 2b 2a : m ∫∫σdxdy ∫ ∫ kxdxdy : b a : (7/3)k(a^3)b : = ────── = (14/9)a : (3/2)k(a^2)b : 2b 2a : ∫ydm ∫ ∫ ykxdxdy : b a (9/4)k(a^2)(b^2) : B Y= ─── = ─────── = ──────── = (3/2)b : m (3/2)k(a^2)b (3/2)k(a^2)b : 我知道求質心公式是 x = (1/m)∫xdm， : 但是為什麼他這題連分母的m都當成dm代入σdxdy呢？ 因為它的質量密度與x成正比， 你要算出它的總質量就只有很直觀的這麼積分才做的出來 : 還有，如果m在分母的話，積分不是直接變成㏑m了嗎？ 分子積分是分子的事，分母積分是分母的事， 你應該再去了解公式的意義是什麼 : 第二題的正解： : a : ∫ydm = ∫yσdA = ∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2 : 0 : a^2 : (令u = y^2) ∫σ(√(a^2-u))du = (2/3)σa^3 : 0 : ∫ydm (2/3)σa^3 : → 質量中心 = ─── = ────── = (4/3π)a : M σ*(1/2)πa^2 : 為什麼這題不用像上題那樣， : 直接把M也代入σA，反而只要在最後算完∫ydm再直接除以M就可以了呢？ 你可以這麼做不過還要去積分較麻煩，用更簡單的作法不是更快嗎 : a : 另外，我想知道為什麼∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2 : 0 dy^2=2ydy : 雖然這似乎是屬於微積分的範圍，但是這畢竟是物理的題目， : 所以就一起po在這了…… : 我知道過程可能有點繁複， : 不過還是希望有好心人能為我解惑……感激不盡。 --

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