※ 引述《Eyeba11 (油炸眼球)》之铭言： : 不好意思，在书上看到有两题不太清楚， : 想拜托一下看有没有大大能了解他为什麽这样做…… : 一、在xy平面上，a<x<2a及b<y<2b间为一金属薄板，设此板之质量密度与坐标x成正比， : 则金属板之质心坐标为？ : 二、试求均质半圆板的质量中心，设a为圆半径。 : 第一题的正解： : 质量密度σ=kx→dm=σdA=σdxdy : 2b 2a : ∫xdm ∫∫xσdxdy ∫ ∫ xkxdxdy : b a : A. X= ─── = ────── = ─────── : 2b 2a : m ∫∫σdxdy ∫ ∫ kxdxdy : b a : (7/3)k(a^3)b : = ────── = (14/9)a : (3/2)k(a^2)b : 2b 2a : ∫ydm ∫ ∫ ykxdxdy : b a (9/4)k(a^2)(b^2) : B Y= ─── = ─────── = ──────── = (3/2)b : m (3/2)k(a^2)b (3/2)k(a^2)b : 我知道求质心公式是 x = (1/m)∫xdm， : 但是为什麽他这题连分母的m都当成dm代入σdxdy呢？ 因为它的质量密度与x成正比， 你要算出它的总质量就只有很直观的这麽积分才做的出来 : 还有，如果m在分母的话，积分不是直接变成㏑m了吗？ 分子积分是分子的事，分母积分是分母的事， 你应该再去了解公式的意义是什麽 : 第二题的正解： : a : ∫ydm = ∫yσdA = ∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2 : 0 : a^2 : (令u = y^2) ∫σ(√(a^2-u))du = (2/3)σa^3 : 0 : ∫ydm (2/3)σa^3 : → 质量中心 = ─── = ────── = (4/3π)a : M σ*(1/2)πa^2 : 为什麽这题不用像上题那样， : 直接把M也代入σA，反而只要在最後算完∫ydm再直接除以M就可以了呢？ 你可以这麽做不过还要去积分较麻烦，用更简单的作法不是更快吗 : a : 另外，我想知道为什麽∫yσ2(√(a^2-y^2))dy = ∫σ(√(a^2-y^2))dy^2 : 0 dy^2=2ydy : 虽然这似乎是属於微积分的范围，但是这毕竟是物理的题目， : 所以就一起po在这了…… : 我知道过程可能有点繁复， : 不过还是希望有好心人能为我解惑……感激不尽。 --

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