作者ShikiEiki (四季のこまち)
看板Touhou
標題Re: [ ⑨ ] 彈幕決鬥益智問題 (題目分歧)
時間Thu Sep 4 22:07:34 2014
在此只回答原本的問題好了，新的問題就讓大家來挑戰
也先感謝原PO霧丸舉辦了如此有趣的懸賞題目
※ 引述《kirimaru73 (霧丸)》之銘言：
以下為原本的題目：
1. 三人在場地中站定位，不能閃躲，以回合制的方式行動。
被擊中者退出比賽，剩餘的人繼續行動至分出勝負為止。
2. 首先，由你進行攻擊，然後由靈夢和魔理沙同時進行攻擊，之後重複此順序。
如有人退出比賽，則忽略他的行動。
3. 行動者可以選擇任何一名參加者攻擊，也可以選擇放棄攻擊。
你們三人攻擊的命中率為：靈夢90%、魔理沙80%、你70%
並且你被以下的特殊規則所保護：
(1) 只要魔理沙還沒有退出比賽，靈夢就不能攻擊你。
(2) 你必須被擊中兩次才會退出比賽。
但是，如果在靈夢還沒有退出比賽時，你被魔理沙擊中，則此項規則無效。
正解已經出現在推文中，但是發放獎金需要計算過程。
有興趣者可以針對這個狀況來回答。
解答不要求完全正確的細部數字，但是必須說明：
為什麼你選擇的策略比其他所有策略都有利。
--
我的回答：
這個問題其實要先釐清一個事實，待機基本上是沒有意義的行為
不會因為待機就恢復體力或增加命中率，以及彈幕揮空遭受別人的仇視
所以「選擇待機」與「彈幕揮空」可以視為一樣的情況
就從鄉民的第一步分析吧
1.攻擊魔理沙且命中，剩下靈夢
剩下的靈夢一定是攻擊鄉民，但她需要兩發命中才能成功取勝
她最快擊殺鄉民的機率是0.9*0.3*0.9=0.243
往下雖須再加上0.243*(0.3*0.9)共無限次方的組合，在此就先行忽略
將（１－擊殺鄉民的機率）即為鄉民獲勝的機率，因此可初估得1-0.243=0.757
最後，進入此狀況的機率為0.7，
故獲勝率為0.757*0.7=0.5299
2.攻擊靈夢且命中，剩下魔理沙
剩下的魔理沙一定是攻擊鄉民，但她需要兩發命中才能成功取勝
她最快擊殺鄉民的機率是0.8*0.3*0.8=0.192
往下雖須再加上0.192*(0.3*0.8)共無限次方的組合，在此就先行忽略
將（１－擊殺鄉民的機率）即為鄉民獲勝的機率，因此可初估得1-0.192=0.808
最後，進入此狀況的機率為0.7，
故獲勝率為0.808*0.7=0.5656
3.攻擊揮空or選擇待機
在此情況時，場上仍有三人，受限靈夢不能直擊鄉民的規則，靈夢一定會攻擊魔理沙
(靈夢沒有待機的理由，她的獲勝方法只有魔理沙->鄉民的擊殺順序)
問題就在魔理沙了，她可以選擇攻擊靈夢或是鄉民或待機，但她要取勝也不能選擇待機
因為靈夢不能攻擊鄉民，鄉民擊殺靈夢後，會變成需要兩次攻擊才能取勝
因此她只有攻擊的選擇，而攻擊靈夢或鄉民的勝利機率如下
迴避所有彈幕擊殺鄉民後，打倒靈夢 0.1*0.8*0.1*0.8 ＝ 0.0064
迴避所有彈幕擊殺靈夢後，打倒鄉民 0.1*0.8*0.3*0.8*0.3*0.8 ＝ 0.004608
儘管獲勝機率渺茫，但魔理沙只能選擇攻擊鄉民一途
3-1.靈夢攻擊魔理沙，魔理沙攻擊鄉民
靈夢獲勝 ＝ 0.72(0.8*0.9)
鄉民退場，魔理沙健在 ＝ 0.08(0.8*0.1)
鄉民健在，魔理沙退場 ＝ 0.18(0.2*0.9)
全員健在 ＝ 0.02(0.2*0.1)
由於靈夢一定在場，所以鄉民只要受魔理沙一擊就會退場
如鄉民健在且魔理沙退場，則變成鄉民兩命與靈夢單挑，同時鄉民先攻擊
此時根據1的結果，靈夢的單挑勝率為0.243，但需再迴避鄉民一次的攻擊
故為0.243*0.3 ＝ 0.0729
鄉民的獲勝率則變成 1-0.0729 ＝ 0.9271
全員健在時，則回到題目本來的情況
依此待機的獲勝率為0.18*0.927 ＝ 0.1669
以上的計算可知勝算如下
先攻擊魔理沙 ＝ 0.5299
先攻擊靈夢 ＝ 0.5656
待機or彈幕揮空 ＝ 0.1669
「先攻擊靈夢」的勝算最高，馬上拿出你的彈幕朝靈夢攻擊吧！！！
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1F：推 kirimaru73: 雖然我已經把題目合回去了，但是曾經出現就算有效 09/04 22:08
2F：→ kirimaru73: 我來看看，正確的話我會發放獎金 09/04 22:08
3F：→ henry1234562: 你的1. 2. 跟結論好像不一樣啊 09/04 22:10
發現問題了，的確是個大錯，已修正
4F：→ henry1234562: 1.說先打魔理沙勝率 0.5299 結論卻改成攻擊靈夢的 09/04 22:12
5F：→ ShikiEiki: 1.與2.鄉民要單挑的是不同人，數值自然是不同的 09/04 22:12
6F：推 kirimaru73: 很接近了，但好像中間有地方弄反 09/04 22:12
7F：→ kirimaru73: 如果自己發現的話改一下吧，我正在研究 09/04 22:12
8F：→ henry1234562: 不是 我是說 你1.是寫攻擊靈夢的勝率是.5299 09/04 22:13
9F：→ kirimaru73: 對，這回答有問題，因為你有沒有打中靈夢會改變 09/04 22:13
10F：→ kirimaru73: 你對魔砲的抗性 所以這邊一定要分別計算 09/04 22:13
鄉民打倒靈夢 → 場上剩下魔理沙與鄉民（狀況２）
鄉民攻擊靈夢但失敗 → 場上三人俱存，敵方行動（狀況３）
沒有命中其實就是變成待機而已，應該不用重複算
11F：→ henry1234562: 講反 1.寫 你攻擊魔理沙 勝率.5299 09/04 22:13
12F：→ henry1234562: 但你在結論的地方說 攻擊靈夢的勝率是.5299 09/04 22:14
13F：→ henry1234562: 你在推論過程中寫的跟你結論寫的不同 09/04 22:14
※ 編輯: ShikiEiki (114.42.159.8), 09/04/2014 22:15:50
14F：→ henry1234562: 結論記得改XD 09/04 22:15
15F：→ henry1234562: 我認為這個答案是正確的 09/04 22:16
16F：→ henry1234562: 因為 你沒打中靈夢 就等於你待機 09/04 22:16
17F：→ henry1234562: 這沒有必要特別去計算 就用待機的狀況去看就好 09/04 22:16
※ 編輯: ShikiEiki (114.42.159.8), 09/04/2014 22:19:45
18F：推 kirimaru73: 答案是對的，但是有個地方有問題 09/04 22:18
19F：→ kirimaru73: 1.2.說明了二人狀況下跟魔理沙PK機率比較高 這點正確 09/04 22:19
20F：→ kirimaru73: 但是正解確實是先攻擊魔理沙 也就是選擇跟靈夢PK 09/04 22:19
21F：→ kirimaru73: 這兩個是相反的 所以還有一個造成寧願面對靈夢的原因 09/04 22:19
22F：推 iamnotgm: 前半分析正確 結論有地方寫錯了 另外魔理沙的策略有錯 09/04 22:20
23F：→ iamnotgm: 上面無視吧我好像想錯了拍謝 09/04 22:22
24F：→ ShikiEiki: 這部分就給其他人計算，一時還想不出這流程哪裡有錯 09/04 22:22
25F：推 kirimaru73: 我現在也還不確定，我正在計算 09/04 22:23
26F：→ henry1234562: 不會選擇面對魔理沙阿 09/04 22:23
27F：→ kirimaru73: 另外魔理沙會直接砲死鄉民這點是正確的 09/04 22:23
28F：→ henry1234562: 因為 你不管轟掉靈夢 還是魔理沙 都是變成兩命 09/04 22:24
29F：→ henry1234562: 不會因為你攻擊不同人導致不同結果 09/04 22:24
30F：→ henry1234562: 命中率一樣 沒命中都是等同待機狀態 09/04 22:25
31F：→ henry1234562: 不管待機狀態下勝率多少 假設為定值 09/04 22:25
32F：→ henry1234562: 這樣你攻擊誰 影響的只有最後你對手是誰 09/04 22:26
33F：→ henry1234562: 不會影響你對魔砲的抗性 09/04 22:26
34F：→ henry1234562: 對手是魔理沙跟靈夢的差別 就只有靈夢命中率更高 09/04 22:26
35F：→ henry1234562: 那選擇攻擊靈夢理當才是正確的 09/04 22:26
36F：推 kirimaru73: 我想算是正確了，除了最後一行魔理沙還是中槍XD 09/04 22:28
看到錯了
果然自己還是屬於寫完程式最後沒檢查的類型阿(艸)
37F：→ henry1234562: 簡單說 攻擊靈夢= 命中*跟魔理沙單挑+沒中*待機勝率 09/04 22:28
38F：→ henry1234562: 攻擊魔理沙= 命中*跟靈夢單挑+沒中*待機勝率 09/04 22:28
39F：→ henry1234562: 跟魔理沙單挑明顯勝率較高 09/04 22:29
※ 編輯: ShikiEiki (114.42.159.8), 09/04/2014 22:30:41
40F：→ kirimaru73: 這只是筆誤不影響 我視為正解 09/04 22:29
41F：→ henry1234562: 所以結論就跟我上一篇推的一樣 09/04 22:29
42F：→ henry1234562: 攻擊靈夢是正解 09/04 22:30
43F：→ Komachionozu: 魔理沙表示：勝率那麼低打屁╮(′～‵〞)╭ 09/04 22:30
44F：→ henry1234562: 魔理沙勝率低於一成 靈夢還有四成多 09/04 22:30
45F：→ Komachionozu: 靈夢表示：勝率也很低，打屁╮(′～‵〞)╭ 09/04 22:30
這遊戲其實對鄉民的保護太強大了XD
46F：→ henry1234562: 魔理沙最慘的原因是 靈夢只能轟他 09/04 22:34
※ 編輯: ShikiEiki (114.42.159.8), 09/04/2014 22:35:39
47F：推 tonyxfg: 想問個問題，為什麼三人的勝率加起來不是一呢? 09/04 22:36
48F：→ tonyxfg: 咦?怎麼被編輯掉了? 09/04 22:36
49F：推 Komachionozu: 還有魔理沙和靈夢兩個人對決互尻的兩敗俱傷 09/04 22:37
50F：→ ShikiEiki: 本來想列出三人的勝率，但我發現靈夢與魔理沙的勝率 09/04 22:37
51F：→ ShikiEiki: 其實沒那麼簡單，後來就刪掉了 09/04 22:37
52F：→ ShikiEiki: 還有就像上面說的，這場遊戲有可能鄉民退場後，兩邊 09/04 22:38
53F：→ ShikiEiki: 互爆的可能性(因為是同時攻擊，同時產生結果) 09/04 22:38