作者kirimaru73 (霧丸)
看板Touhou
標題[ ⑨ ] 彈幕決鬥益智問題
時間Thu Sep 4 18:54:19 2014
這是一題與數學有關的有獎徵答，第一位答對者給予稅後3000P。
對於喜歡研究者應該不太困難，不過仍然有其有趣之處。
抱歉，經過重新思考，現在的狀況如下：
題目不用更動，原本的題目就有單一正解。
採取此策略的獲勝率（從你一開始行動前計算）有六成以上。
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你是一名幻想鄉中的鄉民。由於對彈幕決鬥有極大興趣，你花了不少功夫苦練。
某日，在神社舉辦的一場宴會中，你有幸與靈夢和魔理沙進行三人之間的彈幕決鬥。
考量到彼此的經驗差距，這場比賽採取以下的規則進行：
1. 三人在場地中站定位，不能閃躲，以回合制的方式行動。
被擊中者退出比賽，剩餘的人繼續行動至分出勝負為止。
2.
首先，由你進行攻擊，然後由靈夢和魔理沙同時進行攻擊，之後重複此順序。
如有人退出比賽，則忽略他的行動。
3.
行動者可以選擇任何一名參加者攻擊，也可以選擇放棄攻擊。
你們三人攻擊的命中率為：靈夢90%、魔理沙80%、你70%
並且你被以下的特殊規則所保護：
(1)
只要魔理沙還沒有退出比賽，靈夢就不能攻擊你。
(2)
你必須被擊中兩次才會退出比賽。
但是，如果在靈夢還沒有退出比賽時，你被魔理沙擊中，則此項規則無效。
靈夢和魔理沙都對比賽獎品很有興趣，你則將擊敗這兩人視為最高榮譽。
你們會盡全力讓自己成為最後剩下的一人，並且考慮其他人所有能想到的場面。
除了自己的勝利外，你們之間無冤無仇，也都不會在乎其它人是否可能得到好處。
比賽開始，現在輪到你行動。請問你最佳的策略為何？
--
想要挑戰者可以寫信給我或是直接在板上討論，回答時必須列出推論過程。
推論過程不用詳細列出所有數據，只要把關鍵的地方講清楚即可。
當然，如果答案正確但推論過程有漏洞，仍然不視為答對。
P.S. 這是真正的數學問題，所以請放心。
答案不會是投賽錢或是塞香菇保命這種內容。
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1F：→ youtien: 直覺告訴我第一發故意打空。為什麼我不知道。 09/04 18:57
2F：推 tonyxfg: 我想畫機率樹，可是好麻煩XD 09/04 19:00
3F：→ kirimaru73: 要這樣做的話不用故意 宣言放棄攻擊(規則有寫)就好了 09/04 19:00
4F：→ tonyxfg: 而且靈夢跟魔理沙也能選擇不攻擊，這部分該怎麼考慮還不 09/04 19:01
5F：→ tonyxfg: 清楚 09/04 19:01
6F：推 Israfil: 我的策略是全力盡可能打中靈夢 但是面對魔理莎要打偏 09/04 19:07
7F：→ Israfil: 無論如何必須要讓魔理莎在她的回合贏靈夢最後再收魔理莎 09/04 19:08
靈夢和魔理沙是同時攻擊喔，這和常見的題型不太一樣
他們會決定好自己的行動然後同時進行，並且直接產生結果
(彈幕飛行速度這種空想科學問題在本題目中可以忽略)
當然，如果他們其中之一出局了，你和剩下的人就是輪流行動
8F：推 tonyxfg: 我會選擇攻擊靈夢，有中的話我會多獲得一命，即使沒中也 09/04 19:23
9F：→ tonyxfg: 只須面對命中率較低的魔理沙，何況魔理沙還不一定會打我 09/04 19:24
10F：推 tonyxfg: 回一個冰精數學教室的答案好了:沒時間推算了，那答案就是 09/04 19:46
11F：→ tonyxfg: 看誰不順眼就打誰! 09/04 19:46
12F：推 c55110110: 應該是先打靈夢>先打魔理莎>>不做事 不過勝率都<25% 09/04 19:55
13F：→ c55110110: 將近2年沒碰數學了 可能有算錯 09/04 19:55
14F：→ c55110110: 主要是要先計算出不做事的結果 這在3種情況都要用到 09/04 19:57
15F：→ c55110110: 這個情況我算的話勝率大概是13~14% 然後再回頭討論另兩 09/04 19:59
16F：→ c55110110: 種情況 未擊中的0.3就直接套用不做事的情況 只額外計算 09/04 20:00
17F：→ c55110110: 不對 我剛剛忘記加上擊中後的情況了 09/04 20:08
18F：→ c55110110: 勝率應該是不做事>靈夢>魔理莎 忘記乘0.3 09/04 20:09
19F：→ c55110110: 數字上應該是20%>15%>10% 09/04 20:10
20F：推 youtien: 驗算了一下，果然直覺不做事是對的。 09/04 20:10
21F：→ youtien: 靈必打魔，你有兩命而比靈弱，魔也當不先打你。 09/04 20:11
22F：→ youtien: 在一對一而你有兩命的情況下，你的勝率最高。 09/04 20:12
魔理沙有特殊規則，在靈夢還在的情況下，他可以直接砲掉你的兩命
23F：→ youtien: 再，最可能是第一回合靈和魔互相命中，你便不戰而勝了。 09/04 20:13
24F：推 tonyxfg: 可是依照規則，三人都可以選擇不做任何事，如果魔靈考慮 09/04 20:15
25F：→ tonyxfg: 到你不做任何事的情況下，他們可能採取別的行動嗎? 09/04 20:15
26F：推 c55110110: 沒看到2命規則 那直接打魔理莎勝率是最高的 應該有5成 09/04 20:15
27F：推 youtien: 以幻想鄉的規則來說這時應該出現意外狀況，你出數學題就 09/04 20:16
28F：→ youtien: 不應該用東方的人物。 09/04 20:16
如果就意外狀況這點來說，我有信心不會讓你失望喔
29F：推 c55110110: 只要第一發擊中魔理莎勝率就有7成多 這是其他選擇不會 09/04 20:19
30F：→ c55110110: 發生的 09/04 20:19
31F：推 c55110110: 比較簡單的推導就是這個比試中優勢是我>魔>靈 我同時有 09/04 20:22
32F：→ c55110110: 先手和完全的目標選擇權 魔理莎只有目標選擇權 靈夢完 09/04 20:23
33F：→ c55110110: 全沒有優勢(不考慮過人的運氣) 而且在我單打靈夢的情況 09/04 20:24
34F：→ c55110110: 還有2命規則的適用 不做事/打靈夢只是自我放棄2命規則 09/04 20:25
35F：推 ShikiEiki: 如果在靈夢還沒有退出比賽時，你被魔理沙擊中，則退出 09/04 20:26
36F：→ ShikiEiki: 換言之，在靈夢已退出的情況下，魔理沙仍須2下才能擊殺 09/04 20:27
37F：→ ShikiEiki: 鄉民對吧 09/04 20:27
38F：→ kirimaru73: 對，無論靈夢是怎麼退出的都一樣 09/04 20:27
39F：推 iamnotgm: 問個問題 只剩靈夢和魔理沙時他們互相擊中對方怎麼算 09/04 20:34
40F：→ kirimaru73: 一起死，無獲勝者，BBA將獎品收回去，皆大歡喜 09/04 20:37
我把題目分成兩種，可以針對任一種回答，都有獎金
41F：推 tonyxfg: 如果我沒擊中或沒出手，那輪到魔靈時，不論摩理沙打誰存 09/04 20:41
42F：→ tonyxfg: 活率好像都是0.1，所以理論上摩里沙應該會選擇做掉靈夢換 09/04 20:42
43F：推 Komachionozu: 這是最佳化策略的題目阿 -.- 可是我覺得問機率答案 09/04 20:43
44F：→ tonyxfg: 取接下來較高的勝率，然後接下來的我還要再想想... 09/04 20:43
45F：→ Komachionozu: 會比較明確 09/04 20:43
46F：→ kirimaru73: 問機率比較麻煩，因為那個分數還蠻噁的...... 09/04 20:43
47F：→ tonyxfg: 我覺得乾脆畫樹狀圖列出所有可能情況算了 09/04 20:44
那棵樹蠻大的，很容易亂掉
我建議用c55110110的方法先算出部分結果，再用它來算更複雜的結果
48F：推 Komachionozu: 我是記得有一條機率函數是專門算這種"連續重複試驗" 09/04 20:45
49F：→ Komachionozu: 因為只要沒有決出結果則繼續重複試驗 09/04 20:46
提供一個簡單例子(算提示不過很小，只是方便思考)
靈夢和魔理沙互噴的場合
72%全滅 18%靈夢勝 8%魔理沙勝 2%沒事
因為有沒事的那一部份，所以繼續算下去會面臨無窮級數，雖然算的出來不過有點麻煩
這時有一個簡單的算法
那2%沒事就當成沒發生過，繼續進行下一輪行動
剩下的98%就可以囊括所有的最終結果
因此靈夢的存活率為 18%/98% = 9/49
魔理沙的存活率為 8%/98% = 4/49
50F：推 Komachionozu: 這種題目畫樹狀圖不能算到精準答案 要去找機率模型 09/04 20:52
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 20:55:14
51F：→ henry1234562: 從靈夢的角度開始看比較容易吧 09/04 21:01
52F：→ henry1234562: 因為靈夢就只有攻擊魔理沙 或不攻擊兩種 09/04 21:02
53F：推 Komachionozu: 要算的話還要去找 .... -.-a 有點懶 09/04 21:06
54F：推 Komachionozu: 另外兩個人進行攻擊是否是隨機?分別抽or同時抽? 09/04 21:21
55F：→ kirimaru73: 另外兩個人選擇自己最有利的策略 然後同時攻擊 09/04 21:23
56F：→ kirimaru73: 不是隨機 他們會考慮打誰能讓自己比較可能拿到獎品 09/04 21:24
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:24:18
57F：→ kirimaru73: 另外，獎品一定(最多)只有一人能拿到 09/04 21:27
58F：→ kirimaru73: 所以絕對不會有任何共謀的情形發生 09/04 21:27
59F：推 Komachionozu: 那就不用算了...先尻死魔理沙,然後尻死靈夢>>>結案 09/04 21:29
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:40:57
60F：→ henry1234562: 靈夢的狀況 攻擊魔理沙 且魔理沙沒攻擊她 成功的話 09/04 21:49
61F：→ henry1234562: 就是跟玩家對射 要躲過至少兩發才能贏 09/04 21:50
62F：→ henry1234562: 這樣相比 不動等魔理沙幹掉玩家勝算應該高一點 09/04 21:51
63F：→ henry1234562: 魔理沙選攻擊靈夢的話狀況也一樣 09/04 21:51
64F：→ henry1234562: 這樣這邊的問題是 如果玩家第一輪pass 09/04 21:52
65F：→ henry1234562: 被魔理沙打掉 那靈夢和魔理沙的行動順序是? 09/04 21:52
66F：推 Komachionozu: 這不用管吧XD 題目只管你的而已XD 09/04 21:53
67F：→ kirimaru73: 剩兩人時其實就不可能pass了 因為只能留一個 09/04 21:56
68F：→ kirimaru73: 所以他們兩個就是每回合同時對射到有人中標為止 09/04 21:56
69F：→ henry1234562: 這很重要阿 因為這影響魔理沙跟靈夢的決策 09/04 21:57
70F：→ kirimaru73: 這個機率會影響靈魔兩人的思考 所以還是要計算 09/04 21:57
71F：→ kirimaru73: 然後他們會只想留到最後 同歸於盡價值等於讓對方贏 09/04 21:58
72F：→ henry1234562: 這樣 以魔理沙角度而言 先打掉靈夢的話 跟玩家對射 09/04 21:58
73F：→ henry1234562: 勝算是 30%*80%*30%*80% =9%*6.4%=5.76% 09/04 21:59
74F：→ henry1234562: 先打掉玩家跟靈夢對轟 勝算是 8% 09/04 21:59
75F：→ henry1234562: 如此 玩家如果第一輪pass 魔理沙肯定先轟玩家 09/04 22:00
76F：→ henry1234562: 那玩家就有80%機率出局 所以玩家不能選擇pass 09/04 22:00
77F：→ henry1234562: 不能pass狀況下 就是轟掉誰的問題 09/04 22:00
78F：推 Komachionozu: 先算存活期望值就對了 09/04 22:01
79F：→ henry1234562: 不管轟掉誰 都是拿兩命跟剩下的對打 09/04 22:01
80F：→ henry1234562: 那自然是轟比較強的靈夢 09/04 22:01
81F：→ henry1234562: 所以玩家最好的選擇就是攻擊靈夢 09/04 22:01
82F：→ henry1234562: 這邊我跳過了靈夢的角度 如果玩家pass 09/04 22:02
83F：→ kirimaru73: henry1234562除了魔理沙vs玩家的勝率有點算錯外， 09/04 22:03
84F：→ kirimaru73: 所有的推論過程都是正確的，但是答案不是正解 09/04 22:04
85F：→ kirimaru73: 再想想吧，這題確實不能只用正常的方式來想09/04 22:04
86F：推 Komachionozu: 魔理沙剩率太低了 怎麼沒抗議比賽不公XD 09/04 22:04
這種問題(不管典型或是我變化過的)
確實最悲劇的都是第二位，存活率會慘到很絕望XD
※ 編輯: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 22:05:58
87F：推 Komachionozu: 先攻擊靈夢需要冒著第一回合就被淘汰的風險 09/04 22:09
88F：推 Komachionozu: 題目改過了好像打誰第一回合被淘汰的風險都一樣-.-a 09/04 22:14