作者kirimaru73 (雾丸)
看板Touhou
标题[ ⑨ ] 弹幕决斗益智问题
时间Thu Sep 4 18:54:19 2014
这是一题与数学有关的有奖徵答，第一位答对者给予税後3000P。
对於喜欢研究者应该不太困难，不过仍然有其有趣之处。
抱歉，经过重新思考，现在的状况如下：
题目不用更动，原本的题目就有单一正解。
采取此策略的获胜率（从你一开始行动前计算）有六成以上。
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你是一名幻想乡中的乡民。由於对弹幕决斗有极大兴趣，你花了不少功夫苦练。
某日，在神社举办的一场宴会中，你有幸与灵梦和魔理沙进行三人之间的弹幕决斗。
考量到彼此的经验差距，这场比赛采取以下的规则进行：
1. 三人在场地中站定位，不能闪躲，以回合制的方式行动。
被击中者退出比赛，剩余的人继续行动至分出胜负为止。
2.
首先，由你进行攻击，然後由灵梦和魔理沙同时进行攻击，之後重复此顺序。
如有人退出比赛，则忽略他的行动。
3.
行动者可以选择任何一名参加者攻击，也可以选择放弃攻击。
你们三人攻击的命中率为：灵梦90%、魔理沙80%、你70%
并且你被以下的特殊规则所保护：
(1)
只要魔理沙还没有退出比赛，灵梦就不能攻击你。
(2)
你必须被击中两次才会退出比赛。
但是，如果在灵梦还没有退出比赛时，你被魔理沙击中，则此项规则无效。
灵梦和魔理沙都对比赛奖品很有兴趣，你则将击败这两人视为最高荣誉。
你们会尽全力让自己成为最後剩下的一人，并且考虑其他人所有能想到的场面。
除了自己的胜利外，你们之间无冤无仇，也都不会在乎其它人是否可能得到好处。
比赛开始，现在轮到你行动。请问你最佳的策略为何？
--
想要挑战者可以写信给我或是直接在板上讨论，回答时必须列出推论过程。
推论过程不用详细列出所有数据，只要把关键的地方讲清楚即可。
当然，如果答案正确但推论过程有漏洞，仍然不视为答对。
P.S. 这是真正的数学问题，所以请放心。
答案不会是投赛钱或是塞香菇保命这种内容。
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1F：→ youtien: 直觉告诉我第一发故意打空。为什麽我不知道。 09/04 18:57
2F：推 tonyxfg: 我想画机率树，可是好麻烦XD 09/04 19:00
3F：→ kirimaru73: 要这样做的话不用故意 宣言放弃攻击(规则有写)就好了 09/04 19:00
4F：→ tonyxfg: 而且灵梦跟魔理沙也能选择不攻击，这部分该怎麽考虑还不 09/04 19:01
5F：→ tonyxfg: 清楚 09/04 19:01
6F：推 Israfil: 我的策略是全力尽可能打中灵梦 但是面对魔理莎要打偏 09/04 19:07
7F：→ Israfil: 无论如何必须要让魔理莎在她的回合赢灵梦最後再收魔理莎 09/04 19:08
灵梦和魔理沙是同时攻击喔，这和常见的题型不太一样
他们会决定好自己的行动然後同时进行，并且直接产生结果
(弹幕飞行速度这种空想科学问题在本题目中可以忽略)
当然，如果他们其中之一出局了，你和剩下的人就是轮流行动
8F：推 tonyxfg: 我会选择攻击灵梦，有中的话我会多获得一命，即使没中也 09/04 19:23
9F：→ tonyxfg: 只须面对命中率较低的魔理沙，何况魔理沙还不一定会打我 09/04 19:24
10F：推 tonyxfg: 回一个冰精数学教室的答案好了:没时间推算了，那答案就是 09/04 19:46
11F：→ tonyxfg: 看谁不顺眼就打谁! 09/04 19:46
12F：推 c55110110: 应该是先打灵梦>先打魔理莎>>不做事 不过胜率都<25% 09/04 19:55
13F：→ c55110110: 将近2年没碰数学了 可能有算错 09/04 19:55
14F：→ c55110110: 主要是要先计算出不做事的结果 这在3种情况都要用到 09/04 19:57
15F：→ c55110110: 这个情况我算的话胜率大概是13~14% 然後再回头讨论另两 09/04 19:59
16F：→ c55110110: 种情况 未击中的0.3就直接套用不做事的情况 只额外计算 09/04 20:00
17F：→ c55110110: 不对 我刚刚忘记加上击中後的情况了 09/04 20:08
18F：→ c55110110: 胜率应该是不做事>灵梦>魔理莎 忘记乘0.3 09/04 20:09
19F：→ c55110110: 数字上应该是20%>15%>10% 09/04 20:10
20F：推 youtien: 验算了一下，果然直觉不做事是对的。 09/04 20:10
21F：→ youtien: 灵必打魔，你有两命而比灵弱，魔也当不先打你。 09/04 20:11
22F：→ youtien: 在一对一而你有两命的情况下，你的胜率最高。 09/04 20:12
魔理沙有特殊规则，在灵梦还在的情况下，他可以直接炮掉你的两命
23F：→ youtien: 再，最可能是第一回合灵和魔互相命中，你便不战而胜了。 09/04 20:13
24F：推 tonyxfg: 可是依照规则，三人都可以选择不做任何事，如果魔灵考虑 09/04 20:15
25F：→ tonyxfg: 到你不做任何事的情况下，他们可能采取别的行动吗? 09/04 20:15
26F：推 c55110110: 没看到2命规则 那直接打魔理莎胜率是最高的 应该有5成 09/04 20:15
27F：推 youtien: 以幻想乡的规则来说这时应该出现意外状况，你出数学题就 09/04 20:16
28F：→ youtien: 不应该用东方的人物。 09/04 20:16
如果就意外状况这点来说，我有信心不会让你失望喔
29F：推 c55110110: 只要第一发击中魔理莎胜率就有7成多 这是其他选择不会 09/04 20:19
30F：→ c55110110: 发生的 09/04 20:19
31F：推 c55110110: 比较简单的推导就是这个比试中优势是我>魔>灵 我同时有 09/04 20:22
32F：→ c55110110: 先手和完全的目标选择权 魔理莎只有目标选择权 灵梦完 09/04 20:23
33F：→ c55110110: 全没有优势(不考虑过人的运气) 而且在我单打灵梦的情况 09/04 20:24
34F：→ c55110110: 还有2命规则的适用 不做事/打灵梦只是自我放弃2命规则 09/04 20:25
35F：推 ShikiEiki: 如果在灵梦还没有退出比赛时，你被魔理沙击中，则退出 09/04 20:26
36F：→ ShikiEiki: 换言之，在灵梦已退出的情况下，魔理沙仍须2下才能击杀 09/04 20:27
37F：→ ShikiEiki: 乡民对吧 09/04 20:27
38F：→ kirimaru73: 对，无论灵梦是怎麽退出的都一样 09/04 20:27
39F：推 iamnotgm: 问个问题 只剩灵梦和魔理沙时他们互相击中对方怎麽算 09/04 20:34
40F：→ kirimaru73: 一起死，无获胜者，BBA将奖品收回去，皆大欢喜 09/04 20:37
我把题目分成两种，可以针对任一种回答，都有奖金
41F：推 tonyxfg: 如果我没击中或没出手，那轮到魔灵时，不论摩理沙打谁存 09/04 20:41
42F：→ tonyxfg: 活率好像都是0.1，所以理论上摩里沙应该会选择做掉灵梦换 09/04 20:42
43F：推 Komachionozu: 这是最佳化策略的题目阿 -.- 可是我觉得问机率答案 09/04 20:43
44F：→ tonyxfg: 取接下来较高的胜率，然後接下来的我还要再想想... 09/04 20:43
45F：→ Komachionozu: 会比较明确 09/04 20:43
46F：→ kirimaru73: 问机率比较麻烦，因为那个分数还蛮恶的...... 09/04 20:43
47F：→ tonyxfg: 我觉得乾脆画树状图列出所有可能情况算了 09/04 20:44
那棵树蛮大的，很容易乱掉
我建议用c55110110的方法先算出部分结果，再用它来算更复杂的结果
48F：推 Komachionozu: 我是记得有一条机率函数是专门算这种"连续重复试验" 09/04 20:45
49F：→ Komachionozu: 因为只要没有决出结果则继续重复试验 09/04 20:46
提供一个简单例子(算提示不过很小，只是方便思考)
灵梦和魔理沙互喷的场合
72%全灭 18%灵梦胜 8%魔理沙胜 2%没事
因为有没事的那一部份，所以继续算下去会面临无穷级数，虽然算的出来不过有点麻烦
这时有一个简单的算法
那2%没事就当成没发生过，继续进行下一轮行动
剩下的98%就可以囊括所有的最终结果
因此灵梦的存活率为 18%/98% = 9/49
魔理沙的存活率为 8%/98% = 4/49
50F：推 Komachionozu: 这种题目画树状图不能算到精准答案 要去找机率模型 09/04 20:52
※ 编辑: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 20:55:14
51F：→ henry1234562: 从灵梦的角度开始看比较容易吧 09/04 21:01
52F：→ henry1234562: 因为灵梦就只有攻击魔理沙 或不攻击两种 09/04 21:02
53F：推 Komachionozu: 要算的话还要去找 .... -.-a 有点懒 09/04 21:06
54F：推 Komachionozu: 另外两个人进行攻击是否是随机?分别抽or同时抽? 09/04 21:21
55F：→ kirimaru73: 另外两个人选择自己最有利的策略 然後同时攻击 09/04 21:23
56F：→ kirimaru73: 不是随机 他们会考虑打谁能让自己比较可能拿到奖品 09/04 21:24
※ 编辑: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:24:18
57F：→ kirimaru73: 另外，奖品一定(最多)只有一人能拿到 09/04 21:27
58F：→ kirimaru73: 所以绝对不会有任何共谋的情形发生 09/04 21:27
59F：推 Komachionozu: 那就不用算了...先尻死魔理沙,然後尻死灵梦>>>结案 09/04 21:29
※ 编辑: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 21:40:57
60F：→ henry1234562: 灵梦的状况 攻击魔理沙 且魔理沙没攻击她 成功的话 09/04 21:49
61F：→ henry1234562: 就是跟玩家对射 要躲过至少两发才能赢 09/04 21:50
62F：→ henry1234562: 这样相比 不动等魔理沙干掉玩家胜算应该高一点 09/04 21:51
63F：→ henry1234562: 魔理沙选攻击灵梦的话状况也一样 09/04 21:51
64F：→ henry1234562: 这样这边的问题是 如果玩家第一轮pass 09/04 21:52
65F：→ henry1234562: 被魔理沙打掉 那灵梦和魔理沙的行动顺序是? 09/04 21:52
66F：推 Komachionozu: 这不用管吧XD 题目只管你的而已XD 09/04 21:53
67F：→ kirimaru73: 剩两人时其实就不可能pass了 因为只能留一个 09/04 21:56
68F：→ kirimaru73: 所以他们两个就是每回合同时对射到有人中标为止 09/04 21:56
69F：→ henry1234562: 这很重要阿 因为这影响魔理沙跟灵梦的决策 09/04 21:57
70F：→ kirimaru73: 这个机率会影响灵魔两人的思考 所以还是要计算 09/04 21:57
71F：→ kirimaru73: 然後他们会只想留到最後 同归於尽价值等於让对方赢 09/04 21:58
72F：→ henry1234562: 这样 以魔理沙角度而言 先打掉灵梦的话 跟玩家对射 09/04 21:58
73F：→ henry1234562: 胜算是 30%*80%*30%*80% =9%*6.4%=5.76% 09/04 21:59
74F：→ henry1234562: 先打掉玩家跟灵梦对轰 胜算是 8% 09/04 21:59
75F：→ henry1234562: 如此 玩家如果第一轮pass 魔理沙肯定先轰玩家 09/04 22:00
76F：→ henry1234562: 那玩家就有80%机率出局 所以玩家不能选择pass 09/04 22:00
77F：→ henry1234562: 不能pass状况下 就是轰掉谁的问题 09/04 22:00
78F：推 Komachionozu: 先算存活期望值就对了 09/04 22:01
79F：→ henry1234562: 不管轰掉谁 都是拿两命跟剩下的对打 09/04 22:01
80F：→ henry1234562: 那自然是轰比较强的灵梦 09/04 22:01
81F：→ henry1234562: 所以玩家最好的选择就是攻击灵梦 09/04 22:01
82F：→ henry1234562: 这边我跳过了灵梦的角度 如果玩家pass 09/04 22:02
83F：→ kirimaru73: henry1234562除了魔理沙vs玩家的胜率有点算错外， 09/04 22:03
84F：→ kirimaru73: 所有的推论过程都是正确的，但是答案不是正解 09/04 22:04
85F：→ kirimaru73: 再想想吧，这题确实不能只用正常的方式来想09/04 22:04
86F：推 Komachionozu: 魔理沙剩率太低了 怎麽没抗议比赛不公XD 09/04 22:04
这种问题(不管典型或是我变化过的)
确实最悲剧的都是第二位，存活率会惨到很绝望XD
※ 编辑: kirimaru73 (118.168.238.133), 09/04/2014 22:05:58
87F：推 Komachionozu: 先攻击灵梦需要冒着第一回合就被淘汰的风险 09/04 22:09
88F：推 Komachionozu: 题目改过了好像打谁第一回合被淘汰的风险都一样-.-a 09/04 22:14