作者saltlake (SaltLake)
看板Statistics
標題[問題] 第一型誤差的數學表達式
時間Mon Jun 3 06:39:44 2024
請問第一型誤差 (alpha) 的數學表達式是怎麼表達?
它的文字定義的描述是:
從樣本測試觀察到 Ha (替代假說) 但是實際上是 Hn
(虛無假說) 的機率
把文字描述改寫成數學式子的話，應該怎麼表達?
P(Ha|Hn)
已知 Hn 的條件下，發生 Ha 之機率?
還是別的表達方式?
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.36.200.19 (臺灣)
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1F：→ yhliu: 型一誤，型二誤，只是假說檢定中的錯誤類型稱呼。如果實際 06/03 07:44
2F：→ yhliu: 上虛無假說是對的，但檢定結果卻棄卻它而接受對立假說，就 06/03 07:46
3F：→ yhliu: 稱犯了型一誤。另一邊，如果實際上對立假說才對，虛無假說 06/03 07:48
4F：→ yhliu: 不成立，檢定的結論卻未能棄卻虛無假說，就犯了型二誤。 06/03 07:49
5F：→ yhliu: 所以 type 1 error, type 2 error 只是指所犯錯誤的類型， 06/03 07:51
6F：→ yhliu: 而不是指其大小。至於要計算其大小，也就是犯型一誤的機率 06/03 07:52
7F：→ yhliu: 或犯型二誤的機率，則要在特定參數值之下才能計算。也就是 06/03 07:53
8F：→ yhliu: 說：先碓定參數的一個值，可以根據檢定規則計算出棄卻與不 06/03 07:55
9F：→ yhliu: 棄卻 H0 的機率。如果這個選定的參數值是落在 H0 範圍，那 06/03 07:57
10F：→ yhliu: 麼棄卻 H0 的機率就是在這參數值上犯型一誤的機率。另外， 06/03 07:59
11F：→ yhliu: 若選定的參數值落在 Ha 的範圍，棄卻 H0 是對的，這個機率 06/03 08:01
12F：→ yhliu: 稱為這檢定（程序）在這參數點上的檢定力；它的 1-補數，也 06/03 08:03
13F：→ yhliu: 就是不棄卻 H0 的機率，就是犯型二誤的機率。舉個例子，群 06/03 08:05
14F：→ yhliu: 體是常態群體，H0:群體平均 m 小於或等於 0, Ha: m > 0, 06/03 08:07
15F：→ yhliu: 現在假設樣本數 n 定了，選定 m 一個值例如 m = 0, 變異數 06/03 08:09
16F：→ yhliu: 一個值例如 1, 可以計算在所定的 n 之下，t 檢定的臨界值, 06/03 08:11
17F：→ yhliu: 也就是決定樣本平均數多大會棄卻 H0, 從而計算在所選定參數 06/03 08:13
18F：→ yhliu: 值（群體平均數０標準差１）會棄卻 H0 的機率。因為選定的 06/03 08:15
19F：→ yhliu: 參數值落在 H0 (m =< 0)，所以這機率就是在這參數點上犯型 06/03 08:17
20F：→ yhliu: 一誤的機率。改變參數值的設定，可以計算不同參數點犯型一 06/03 08:18
21F：→ yhliu: 誤的機率（參數值在 H0 時），或不同參數點的檢定力（參數 06/03 08:20
22F：→ yhliu: 值落在 Ha 時）。 06/03 08:21
換個表達方式，請問能否用計算或然率的數學式來表達各型誤差?
例如:
alpha = P(?) = Integral(?)
beta = P(?) = Integral (?)
※ 編輯: saltlake (114.36.200.19 臺灣), 06/03/2024 09:44:18
24F：→ recorriendo: alpha是拒絕H0的門檻 是檢定者自己選訂的 例如選 06/03 12:10
25F：→ recorriendo: 0.05 06/03 12:10
26F：→ recorriendo: p value才是type 1 error rate，p value超過alpha就 06/03 12:12
27F：→ recorriendo: 拒絕H0 06/03 12:12
28F：→ recorriendo: p value才能以機率理解 alpha是檢定者裁量的標準 取 06/03 12:14
29F：→ recorriendo: 決檢定者覺得檢定需要多嚴格 06/03 12:14
30F：→ recorriendo: p value = P(test statistic is as or more extrem 06/03 12:18
31F：→ recorriendo: e than the observed value, given H0 and populat 06/03 12:18
32F：→ recorriendo: ion/sampling assumptions) 06/03 12:18
33F：→ recorriendo: 說錯了 alpha是type 1 error rate沒錯 06/03 12:24
34F：→ recorriendo: alpha = P(test rejects H0, given H0 and populat 06/03 12:29
^^^^^^^^^
這部分是否表示構成條件機率?
也就是已知(***)的狀況下，拒絕虛無假設
35F：→ recorriendo: ion/sampling assumptions hold) 06/03 12:29
※ 編輯: saltlake (114.36.200.19 臺灣), 06/03/2024 13:10:21
36F：→ recorriendo: 是條件機率 但不是"已知" 條件機率指"假設H0成立的 06/03 14:17
37F：→ recorriendo: 前提下" 實際上H0成不成立是未知的 不然根本不必檢定 06/03 14:17
38F：→ yhliu: 不是說得很明確了嗎？type 1 error 及 type 2 error 的機率 06/04 06:28
39F：→ yhliu: 都是在特定參數值之下計算的。除非 H0 是簡單假說死也就是 06/04 06:30
40F：→ yhliu: H0 只含一個參數點，否則 P[Reject H0; H0] 是無意義的； 06/04 06:31
41F：→ yhliu: 要計算的是 P[Reject H0; theta] 其中 theta 是一個明確的 06/04 06:33
42F：→ yhliu: 參數點，如前面舉的 群體平均數=0，標準差=1 這樣的參數值 06/04 06:35
43F：→ yhliu: 值組合。但只有參數點落在 H0，棄卻 H0 的機率才叫做 type 06/04 06:37
44F：→ yhliu: 1 error 的機率；若參數點落在 Ha，則棄卻 H0 是正確的決策 06/04 06:38
45F：→ yhliu: 其機率稱為檢定力 power of the test。 06/04 06:39
46F：→ yhliu: 另外，p 值是另一個概念，和型一誤的機率是兩回事。 06/04 06:40
47F：→ yhliu: 在固定顯著水準下，才可能明定檢定規則，才可能談 棄卻 H0 06/04 06:43
48F：→ yhliu: 的機率。顯著水準不是機率，是規定型一誤機率不能逾越的界 06/04 06:44
49F：→ yhliu: 限。定了顯著水準，然後有了 reject or not reject H0 的準 06/04 06:46
50F：→ yhliu: 則，然後可以在 H0 的每一個參數點計算型一誤的機率，這些 06/04 06:47
51F：→ yhliu: 機率都不能超過顯著水準。而 p 值是另一種思考：不管顯著水 06/04 06:49
52F：→ yhliu: 準是多少，reject H0 的規則都可以寫成 T > t* 的形式，其 06/04 06:50
53F：→ yhliu: 中 T 是檢定統計量，t* 稱臨界值，其大小取決於顯著水準， 06/04 06:52
54F：→ yhliu: 顥著水準小，t* 就大；顯著水準大，t* 就小。所以當前的資 06/04 06:54
55F：→ yhliu: 料，也就是手上實際抽樣得到的資料，會做成 reject or not 06/04 06:55
56F：→ yhliu: reject H0 的決定完全取決於顯著水準，顯著水準大可能就 06/04 06:56
57F：→ yhliu: reject，顯著水準小就 cannot reject, 所以其中有個界限 p 06/04 06:58
58F：→ yhliu: 當顯著水準大於或等於 p 就會 reject H0; 顯著水準小於 p, 06/04 07:00
59F：→ yhliu: 則 can't reject H0。所以 p, 所謂 p-value, 就是當前資料 06/04 07:01
60F：→ yhliu: 能 reject H0 的最小顯著水準。又由於臨界值 t* 和顯著水準 06/04 07:03
61F：→ yhliu: 的反向關係，所以對於 T>t* 型臨界域（棄卻域）的檢定，p值 06/04 07:04
62F：→ yhliu: 也可以機率形式表示成 P[T > t; theta], 其中 t 是當前資料 06/04 07:06
63F：→ yhliu: 的檢定統計量的值，theta 是 H0 中使 reject H0 機率最高的 06/04 07:08
64F：→ yhliu: 的參數點，通常它在 H0 和 Ha 的共同邊界上。 06/04 07:09
65F：推 recorriendo: 我有提完整的前提包含關於母體和抽樣的假定 參數也 06/05 00:27
66F：→ recorriendo: 是關於假定母體分布的描述 06/05 00:27
67F：→ recorriendo: 複雜統計檢定程序的研究也是這麼做的 給定H0成立的 06/05 00:36
68F：→ recorriendo: 精確的母體分布和抽樣方法 用模擬資料 估計H0被拒 06/05 00:36
69F：→ recorriendo: 絕的機率 就是type 1 error rate 06/05 00:36