作者widlar ()
看板Statistics
標題[問題] 若高斯分佈的平均值亦為高斯分佈
時間Thu Jul 9 21:09:30 2020
請教板上各位高手，若一高斯分佈標準差為s1,但平均值亦為一高斯機率分佈，其平均值
為0，標準差為s2，請問：
1. 其分佈是否亦為高斯分佈呢？
2. 若是高斯分佈，其標準差是多少呢？
看過一些相關的資料，認為亦為高斯分佈，且標準差是(s1^2+s2^2)^0.5，但一直沒有找
到這方面的證明，故想請教，謝謝。
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1F：推 celestialgod: 從條件機率出發就可以證明了 07/10 00:16
2F：推 celestialgod: 假設X|Y=y~N(y, s1^2), Y~N(0,s2) 07/10 00:16
3F：推 celestialgod: 那麼P(X=x, Y=y)=P(Y=y)*P(X=x|Y=y) 07/10 00:16
4F：推 celestialgod: 展開整理，接著P(X=x)=積分P(x, y)dy 就可以算出來X 07/10 00:16
5F：推 celestialgod: 的pdf 07/10 00:16
6F：→ yhliu: 凡是談到貝氏分析的書, 或談到混合分布(混淆分布)的書大概 07/10 06:24
7F：→ yhliu: 都會有. 另一個想法: W = X+Y, X～N(0,s1^2), Y~N(0,s2^2), 07/10 06:27
8F：→ yhliu: 且 X, Y 獨立. 則 W 即為那樣的分布 W|Y=y～N(y,s1^2). 07/10 06:30
9F：→ widlar: 感謝celestialgod和yhliu的指教～ 07/10 07:50
10F：推 empireisme: Y大ˇ的看不太懂，求解釋 07/10 13:18
11F：→ yhliu: W=X+Y, X,Y是相互獨立的常態(高斯)變量,均為平均數0,標漳差 07/10 16:43
12F：→ yhliu: 分別是 s1, s2. 則給定 Y=y 時, W 不是平均數Y,標準差s1的 07/10 16:45
13F：→ yhliu: Gaussian分布嗎? 但其平均數又其實服從平均數0,標準差s2的 07/10 16:46
14F：→ yhliu: 高斯(常態分布). 邢總私來說, W 服從平均數0,變異數 07/10 16:48
15F：→ yhliu: s1^2+s2^2 的高斯分布. 07/10 16:49
16F：→ widlar: y大的解法我也看不太懂... 07/10 17:53
17F：→ widlar: 另外c大的解法我試著計算，但那積分過於難解@@ 07/10 17:57
18F：→ widlar: 另外我之前試著用摺積（convolution)的方式計算，會得到和 07/10 18:00
19F：→ widlar: c大一樣的積分式子（但結果一樣積不出來） 07/10 18:00
20F：→ widlar: y大能否講解得再詳細一些呢？感謝 07/10 18:01
21F：→ yhliu: 原題是: 給定 μ 時 W～N(0,s1^2), 但 μ本身是 N(0,s2^2) 07/11 04:51
22F：→ yhliu: 這不就是說: W-μ～N(0,s1^2), μ～N(0,s2^2)? 07/11 04:52
23F：→ yhliu: 把μ用一般隨機變數符號表示, 記為 Y; 又令 X = W-μ. 07/11 04:54
24F：→ yhliu: 這不就是 W = X+Y? 而 X, Y 是獨立的 Gaussian r.v. 07/11 04:55