作者widlar ()
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标题[问题] 若高斯分布的平均值亦为高斯分布
时间Thu Jul 9 21:09:30 2020
请教板上各位高手，若一高斯分布标准差为s1,但平均值亦为一高斯机率分布，其平均值
为0，标准差为s2，请问：
1. 其分布是否亦为高斯分布呢？
2. 若是高斯分布，其标准差是多少呢？
看过一些相关的资料，认为亦为高斯分布，且标准差是(s1^2+s2^2)^0.5，但一直没有找
到这方面的证明，故想请教，谢谢。
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1F：推 celestialgod: 从条件机率出发就可以证明了 07/10 00:16
2F：推 celestialgod: 假设X|Y=y~N(y, s1^2), Y~N(0,s2) 07/10 00:16
3F：推 celestialgod: 那麽P(X=x, Y=y)=P(Y=y)*P(X=x|Y=y) 07/10 00:16
4F：推 celestialgod: 展开整理，接着P(X=x)=积分P(x, y)dy 就可以算出来X 07/10 00:16
5F：推 celestialgod: 的pdf 07/10 00:16
6F：→ yhliu: 凡是谈到贝氏分析的书, 或谈到混合分布(混淆分布)的书大概 07/10 06:24
7F：→ yhliu: 都会有. 另一个想法: W = X+Y, X～N(0,s1^2), Y~N(0,s2^2), 07/10 06:27
8F：→ yhliu: 且 X, Y 独立. 则 W 即为那样的分布 W|Y=y～N(y,s1^2). 07/10 06:30
9F：→ widlar: 感谢celestialgod和yhliu的指教～ 07/10 07:50
10F：推 empireisme: Y大ˇ的看不太懂，求解释 07/10 13:18
11F：→ yhliu: W=X+Y, X,Y是相互独立的常态(高斯)变量,均为平均数0,标漳差 07/10 16:43
12F：→ yhliu: 分别是 s1, s2. 则给定 Y=y 时, W 不是平均数Y,标准差s1的 07/10 16:45
13F：→ yhliu: Gaussian分布吗? 但其平均数又其实服从平均数0,标准差s2的 07/10 16:46
14F：→ yhliu: 高斯(常态分布). 邢总私来说, W 服从平均数0,变异数 07/10 16:48
15F：→ yhliu: s1^2+s2^2 的高斯分布. 07/10 16:49
16F：→ widlar: y大的解法我也看不太懂... 07/10 17:53
17F：→ widlar: 另外c大的解法我试着计算，但那积分过於难解@@ 07/10 17:57
18F：→ widlar: 另外我之前试着用摺积（convolution)的方式计算，会得到和 07/10 18:00
19F：→ widlar: c大一样的积分式子（但结果一样积不出来） 07/10 18:00
20F：→ widlar: y大能否讲解得再详细一些呢？感谢 07/10 18:01
21F：→ yhliu: 原题是: 给定 μ 时 W～N(0,s1^2), 但 μ本身是 N(0,s2^2) 07/11 04:51
22F：→ yhliu: 这不就是说: W-μ～N(0,s1^2), μ～N(0,s2^2)? 07/11 04:52
23F：→ yhliu: 把μ用一般随机变数符号表示, 记为 Y; 又令 X = W-μ. 07/11 04:54
24F：→ yhliu: 这不就是 W = X+Y? 而 X, Y 是独立的 Gaussian r.v. 07/11 04:55