※ 引述《celestialgod (天)》之銘言： : ※ 引述《getsimple (getsimple)》之銘言： : : 大家好 : : 我有一題想了很久真的不太知道怎麼做，又找不到人討論，求求各位大神救救我.... : : 我本來看到這題想說y會服從ber(p=1/2)，然後x會服從二項，但突然又看到2^（-k)，如 : : 果直接加入的話好像就不能用二項去算了（？）因為這樣的話機率總和不等於1... : : 拜託大家指點～ : : 感謝大家，感謝統計版 : : https://i.imgur.com/WlcVTxe.jpg : 1. 先觀察看看 : n=1, X_n的值域是0 or 1/2, 機率都是1/2 : n=2, X_n的值域是0, 1/4, 1/2, 3/4, 機率都是1/4 : n=3, X_n的值域是0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 機率都是1/8 : 2. 從觀察來看，我們可以假設P(X_n = x) = 2^(-n)成立 P(X_n=x)=2^(-n) 且 x=0,1/2^n,2/2^n, ..., (2^n-1)/2^n : P(X_(n+1) = x) = P(X_n = x) * P(Y_(n+1) = 0) + : P(X_n = x - 2^(-n-1)) * P(Y_(n+1) = 1) 這邊有點快...我想分解一下 P(X_(n+1)=x)=P(X_n+2^(-n-1)Y_(n+1)=x) 因為Y_(n+1)的值域只有 0,1 所以才有X_n=x-2^(-n-1)的情況出現 P(X_(n+1)=x)=P(X_n=x,Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1),Y=1) =P(X_n=x)P(Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1))P(Y=1) 回去上方定義域探討 前項的x和後項 x-2^(-n-1) 是否屬於 X_n的定義域 首先假設x一定屬於X_n+1的定義域(要不然出來的機率為零) Case 1 x屬於 X_n+1的定義域 且 x屬於X_n的定義域 因為x屬於X_n的定義域 x-2^(-n-1)一定不屬於 X_n的定義域(因為X_n定義域的分母只有2^n) 所以P(X_n=x)=1/2^n P(X_n=x-2^-(n+1))=0 因此P(X_(n+1)=x)=1/2^n*P(Y=0)+0*P(Y=1) =1/2^(n+1) Case 2 x屬於X_n+1的定義域 但是不屬於 X_n的定義域 x=1/2^(n+1),3/2^(n+1),...,(2^n+1-3)/2^(n+1), (2^(n+1)-1)/2^(n+1) (也就是分母為 2^(n+1) 且分子為奇數的部分) 因為在這個狀況 x不屬於 X_n的定義域 所以P(X_n=x)=0 但 x-2^(-n-1)時，因為分子從奇數變成偶數 這時分子分母可以同消，分母變成2^n 所以x-2^(-n-1)是屬於 X_n的定義域裡面 P(X_(n+1)=x)=0*P(Y=0)+1/2^n*P(Y=1) =1/2^(n+1) 綜合以上兩個case P(X_(n+1)=x)=1/2^(n+1) , x=1/2^(n+1),2/2^(n+1),..., (2^(n+1)-1)/2^(n+1) 根據數學歸納法得證 : 到這就有點卡住了，先探討值域 : 因為X_n = sum_k 2^(-k) *Y_k, k = 1, ..., n : => X_n的可能範圍是從 {0, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n} 取0~n個做和 : => 所以X_n的個數為 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn = (1+1)^n = 2^n : (帕斯卡三角形第n+1列) : 從值域來看X_n並不可能包含 2^(-n-1) : 因此，P(X_n = x - 2^(-n-1)) = 0，所以P(X_(n+1) = x) = 2^(-n-1) : 所以根據數學歸納法，P(X_n = x) = 1/2^(-n) 是成立 : 3. 驗證 : x的值域為2^n個，每一個機率為1/2^n => sum_i P(X_n = x_i) = 1 => 是pmf沒錯 : 我不確定有沒有比較好的做法，這是我想到的作法.... : cdf我就沒想到要怎麼做了Orz : 所以第二題我就沒辦法了Orz 第二題我也搞不懂... 因為第一題成立的話 n->無限大時，他的pmf也會趨近於0 F_Xn(x)=sum_(Xn<=x) (1/2^n) 同樣的當n趨近於無限時也會趨近於0 不過有趣的是我發現裡面她是計算裡面小於等於x的離散點數 (累積的數量) 既然用理論證明不行，那我們再次用觀察的方式看看 F_Xn(x)=sum_(Xn<x)*1/2^n F_X(X_n)=X_n+1/2^n 我覺得這邊有個挺弔詭的，一般CDF函數裡面我們都是放一個固定x 但他這邊卻是用數列Xn放入 我想這就是題目一開始說的u_i是固定數列 因此X_n應該也是一個固定式數字才對 那我們看Xn應該長怎樣 X_n 可能的值有 0, 1/2^n, 2/2^n,..., (2^n-1)/2^n 共有 2^n個點 對應的累積點 1, 2, 3 ,..., 2^n 可以觀察到 如果 x=(a-1)/2^n時， 他的累積數會剛好是a if x=(a-1)/2^n cdf F_Xn(x=(a-1)/2^n)=a*1/2^n =(a-1)/2^n+1/2^n =x+1/2^n 我覺得有更好的寫法...畢竟我這個結果比較像是用觀察得到的 還期望各位高手提供更加有系統的寫法 --

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