※ 引述《celestialgod (天)》之铭言： : ※ 引述《getsimple (getsimple)》之铭言： : : 大家好 : : 我有一题想了很久真的不太知道怎麽做，又找不到人讨论，求求各位大神救救我.... : : 我本来看到这题想说y会服从ber(p=1/2)，然後x会服从二项，但突然又看到2^（-k)，如 : : 果直接加入的话好像就不能用二项去算了（？）因为这样的话机率总和不等於1... : : 拜托大家指点～ : : 感谢大家，感谢统计版 : : https://i.imgur.com/WlcVTxe.jpg : 1. 先观察看看 : n=1, X_n的值域是0 or 1/2, 机率都是1/2 : n=2, X_n的值域是0, 1/4, 1/2, 3/4, 机率都是1/4 : n=3, X_n的值域是0, 1/8, 1/4, 3/8, 1/2, 5/8, 3/4, 7/8, 机率都是1/8 : 2. 从观察来看，我们可以假设P(X_n = x) = 2^(-n)成立 P(X_n=x)=2^(-n) 且 x=0,1/2^n,2/2^n, ..., (2^n-1)/2^n : P(X_(n+1) = x) = P(X_n = x) * P(Y_(n+1) = 0) + : P(X_n = x - 2^(-n-1)) * P(Y_(n+1) = 1) 这边有点快...我想分解一下 P(X_(n+1)=x)=P(X_n+2^(-n-1)Y_(n+1)=x) 因为Y_(n+1)的值域只有 0,1 所以才有X_n=x-2^(-n-1)的情况出现 P(X_(n+1)=x)=P(X_n=x,Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1),Y=1) =P(X_n=x)P(Y=0)+P(X_n=x-2^(-n-1))P(Y=1) 回去上方定义域探讨 前项的x和後项 x-2^(-n-1) 是否属於 X_n的定义域 首先假设x一定属於X_n+1的定义域(要不然出来的机率为零) Case 1 x属於 X_n+1的定义域 且 x属於X_n的定义域 因为x属於X_n的定义域 x-2^(-n-1)一定不属於 X_n的定义域(因为X_n定义域的分母只有2^n) 所以P(X_n=x)=1/2^n P(X_n=x-2^-(n+1))=0 因此P(X_(n+1)=x)=1/2^n*P(Y=0)+0*P(Y=1) =1/2^(n+1) Case 2 x属於X_n+1的定义域 但是不属於 X_n的定义域 x=1/2^(n+1),3/2^(n+1),...,(2^n+1-3)/2^(n+1), (2^(n+1)-1)/2^(n+1) (也就是分母为 2^(n+1) 且分子为奇数的部分) 因为在这个状况 x不属於 X_n的定义域 所以P(X_n=x)=0 但 x-2^(-n-1)时，因为分子从奇数变成偶数 这时分子分母可以同消，分母变成2^n 所以x-2^(-n-1)是属於 X_n的定义域里面 P(X_(n+1)=x)=0*P(Y=0)+1/2^n*P(Y=1) =1/2^(n+1) 综合以上两个case P(X_(n+1)=x)=1/2^(n+1) , x=1/2^(n+1),2/2^(n+1),..., (2^(n+1)-1)/2^(n+1) 根据数学归纳法得证 : 到这就有点卡住了，先探讨值域 : 因为X_n = sum_k 2^(-k) *Y_k, k = 1, ..., n : => X_n的可能范围是从 {0, 1/2, 1/4, 1/8, ..., 1/2^n} 取0~n个做和 : => 所以X_n的个数为 nC0 + nC1 + nC2 + ... + nCn = (1+1)^n = 2^n : (帕斯卡三角形第n+1列) : 从值域来看X_n并不可能包含 2^(-n-1) : 因此，P(X_n = x - 2^(-n-1)) = 0，所以P(X_(n+1) = x) = 2^(-n-1) : 所以根据数学归纳法，P(X_n = x) = 1/2^(-n) 是成立 : 3. 验证 : x的值域为2^n个，每一个机率为1/2^n => sum_i P(X_n = x_i) = 1 => 是pmf没错 : 我不确定有没有比较好的做法，这是我想到的作法.... : cdf我就没想到要怎麽做了Orz : 所以第二题我就没办法了Orz 第二题我也搞不懂... 因为第一题成立的话 n->无限大时，他的pmf也会趋近於0 F_Xn(x)=sum_(Xn<=x) (1/2^n) 同样的当n趋近於无限时也会趋近於0 不过有趣的是我发现里面她是计算里面小於等於x的离散点数 (累积的数量) 既然用理论证明不行，那我们再次用观察的方式看看 F_Xn(x)=sum_(Xn<x)*1/2^n F_X(X_n)=X_n+1/2^n 我觉得这边有个挺吊诡的，一般CDF函数里面我们都是放一个固定x 但他这边却是用数列Xn放入 我想这就是题目一开始说的u_i是固定数列 因此X_n应该也是一个固定式数字才对 那我们看Xn应该长怎样 X_n 可能的值有 0, 1/2^n, 2/2^n,..., (2^n-1)/2^n 共有 2^n个点 对应的累积点 1, 2, 3 ,..., 2^n 可以观察到 如果 x=(a-1)/2^n时， 他的累积数会刚好是a if x=(a-1)/2^n cdf F_Xn(x=(a-1)/2^n)=a*1/2^n =(a-1)/2^n+1/2^n =x+1/2^n 我觉得有更好的写法...毕竟我这个结果比较像是用观察得到的 还期望各位高手提供更加有系统的写法 --

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