※ 引述《GodCsy (翹屁)》之銘言： : consider an urn that initially contains one red ball and one black ball. : At each time n=1,2…,a ball is drawn, and it and another two balls of the : same color are placed back into the urn.Thus,after n draws the urn contains : 2n+2 balls. LetYn be the number of balck in the urn after n draws and black : let Xn=Yn/(2n+2) : Prove the identity E(Xn+1|Xn=x)=x ,n=1,2… 我先假定這裡的Xn+1是指X_(n+1),而不是(X_n)+1. 為避免混淆,以下用{}表示下標, 例如 X{n} 表示 X_n, 同理,X{n+1} 表示 X_(n+1), 以此類推. : 板上大大 : 這題的pdf f(Xn+1|Xn=x) 我不太清楚要怎麼求 : 麻煩指點一下了 : ----- : Sent from JPTT on my iPhone 首先,當Y{n}=y時,Y{n+1}只會有y或y+2兩種可能性. 其中Y{n+1}=y 表示在第n+1抽時抽到紅球, 而Y{n+1}=y+2表示在第n+1抽時抽到黑球. 其次, f(X{n+1}=(y )/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) f(X{n+1}=(y+2)/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) 所以題目要證明的期望值可以展開成為: E(X{n+1}|X{n}=x) =y /[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) + y+2/[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) 接著,Y{n}=y是指在第n抽後,甕裡共有2n+2顆球,其中有y顆是黑球, 所以在第n+1抽時抽到紅球的機率是[(2n+2)-y]/(2n+2). 同理在第n+1抽時抽到黑球的機率是[ y]/(2n+2). 也就是說,P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) =[(2n+2)-y]/(2n+2), P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) = y /(2n+2). 把這兩個條件機率代回前述的期望值式子裡, 代換整理一下就會得到題目要證明的: E(X{n+1}|X{n}=x) =Y{n}/(2n+2) =x. 以上. 希望沒有錯. --

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