※ 引述《GodCsy (翘屁)》之铭言： : consider an urn that initially contains one red ball and one black ball. : At each time n=1,2…,a ball is drawn, and it and another two balls of the : same color are placed back into the urn.Thus,after n draws the urn contains : 2n+2 balls. LetYn be the number of balck in the urn after n draws and black : let Xn=Yn/(2n+2) : Prove the identity E(Xn+1|Xn=x)=x ,n=1,2… 我先假定这里的Xn+1是指X_(n+1),而不是(X_n)+1. 为避免混淆,以下用{}表示下标, 例如 X{n} 表示 X_n, 同理,X{n+1} 表示 X_(n+1), 以此类推. : 板上大大 : 这题的pdf f(Xn+1|Xn=x) 我不太清楚要怎麽求 : 麻烦指点一下了 : ----- : Sent from JPTT on my iPhone 首先,当Y{n}=y时,Y{n+1}只会有y或y+2两种可能性. 其中Y{n+1}=y 表示在第n+1抽时抽到红球, 而Y{n+1}=y+2表示在第n+1抽时抽到黑球. 其次, f(X{n+1}=(y )/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) f(X{n+1}=(y+2)/[2(n+1)+2] | X{n}=x) =P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) 所以题目要证明的期望值可以展开成为: E(X{n+1}|X{n}=x) =y /[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) + y+2/[2(n+1)+2] *P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) 接着,Y{n}=y是指在第n抽後,瓮里共有2n+2颗球,其中有y颗是黑球, 所以在第n+1抽时抽到红球的机率是[(2n+2)-y]/(2n+2). 同理在第n+1抽时抽到黑球的机率是[ y]/(2n+2). 也就是说,P(Y{n+1}=y |Y{n}=y) =[(2n+2)-y]/(2n+2), P(Y{n+1}=y+2|Y{n}=y) = y /(2n+2). 把这两个条件机率代回前述的期望值式子里, 代换整理一下就会得到题目要证明的: E(X{n+1}|X{n}=x) =Y{n}/(2n+2) =x. 以上. 希望没有错. --

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