作者Glamsight (安穩殘憶)
看板Statistics
標題[問題] 分辨Gaussian Process
時間Sun Aug 7 15:02:35 2016
各位先進好
在此我想請問關於如何檢測一個Process是Gaussian Process
根據Capasso的An Introduction to Continuous-Time Stochastic
Process[1]，一個Gaussian Process的定義如下
Definition Gaussian Process
A real-Valued stochastic process (Omage,F,P,(X(t))_{t \in R+})
is called a Gussian process if, for all n \in \mathbb{N}^* and
for all (t1,...,tn) \in (R+)^n, the n-dimensional random vector
X=(X(t1),...,X(tn))^T has a multivariate Gaussian distribution,
with probability desity
1
f(x;t1,...,tn) = ------------------------*
(2pi)^(n/2)*sqrt(det(K))
{ ( 1 ) }
*exp{-(---)*(x-m)^T*K^(-1)*(x-m)}
{ ( 2 ) },
where
{ mi = E[X(ti)] \in \mathbb R, i=1,...,n,
{ Kij = Cov[X(ti),X(tj)] \in \mathbb{R},
{ i=1,...,n.
由此看來，一個Gaussian Process應該是可以看成一個random vector
X=(X1,...,Xn)^T，然後Xi分別是服從某個Gaussian Process
N(mui,sigmai)，其中(mui,sigmai)可以是與另一個(muj,sigmaj)有所不同
。
然後我的問題就來了，根據我所知關於Gaussian的檢定是檢定一個random
variable是不是Gaussian (Normal)的是Kolmogorov-Smirnov test。它似乎
只能在一維度時使用。
(如果恰好(mui,sigmai)=(muj,sigmaj)對於所有的(i,j)，好像也能使用？)
由於查閱的書籍似乎都是在討論已經是在Gaussian Process時會有甚麼性質
，而沒有說究竟該如何檢測它。便在此想請問各位先進，一般是如何去檢測
一個Process是Gaussian Process的呢？
謝謝
References
[1] Capasso, V, & Baskstein, D. (2010). An Intoduction to
Continuous-Time Stochastic Processes (2nd ed.). New
York: Springer.
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.243.205.37
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※ 編輯: Glamsight (111.243.205.37), 08/07/2016 15:04:12
1F：→ kangoroo: test整個process的實務上好像沒見過(?) 我也蠻想知道的 08/07 16:57
2F：→ kangoroo: 還是說有什麼相關性質可以保証不用檢測 之類的 08/07 16:58
3F：→ yhliu: 一個 Gaussian process 並非是一個 n-dimensional r.v., 08/07 19:46
4F：→ yhliu: 定義是說它的任意有限 n 點都是 n-dim. Gaussian(normal) 08/07 19:48
5F：→ yhliu: distributional random vector. 因此, 是不可能做完整檢定 08/07 19:50
6F：→ yhliu: 的. 要嘛, 就是檢查其構成條件, 再根據不同的 process 檢查 08/07 19:52
7F：→ yhliu: 其是否符合有隈點分布條件. 08/07 19:54
請問"有隈點分布條件"指的是什麼？第一次見到這個名詞。
8F：→ LiamIssac: 試試看Kolmogorov continuity theorem 08/09 08:48
9F：→ LiamIssac: 還有kolmogorov extension theorem 08/09 08:49
第一次聽到該定理，我研究看看，謝謝！！
※ 編輯: Glamsight (36.229.232.94), 08/10/2016 21:34:12
10F：→ yhliu: 通常一個隋機過程不管是 continuous time 或 discrete time 08/18 08:28
11F：→ yhliu: 的, 都是無限點, 也就是無限維的. 因此要看其機率分布, 只 08/18 08:30
12F：→ yhliu: 能取有限個點, 例如一個無限的時間序列只取有限個時點, 看 08/18 08:32
13F：→ yhliu: 這些時點之表現(隨機變數)的聯合分布, 正式稱呼是 08/18 08:33
14F：→ yhliu: finite-dimensional distribution. 根據定義, 一個 08/18 08:34
15F：→ yhliu: Gaussian process 就是其任意 f.-d. distribution 都是 08/18 08:35
16F：→ yhliu: multi-variate Gaussian. 所以如果要從分布特性去檢定是否 08/18 08:37
17F：→ yhliu: 為 Gaussian process, 還要根據 prpcess 的特性, 取 n 組各 08/18 08:41
18F：→ yhliu: k 個時間點, 得到 n 組獨立同分布的 k-dim. 隨機向量的觀測 08/18 08:45
19F：→ yhliu: 值, 檢定它們是否為來自 k-dim. Gaussian 的隨機樣本. 08/18 08:47
20F：→ yhliu: 例如要檢定是否為 Brownian motion, 可以取等距 n+1 個 08/18 08:51
21F：→ yhliu: 時點, 得觀測值 Y(i),i=0,1,2...,n; 再取 X(i)=Y(i+1)-Y(i) 08/18 08:54
22F：→ yhliu: 再用檢定單變量常態的方法檢定 X(i), i=1,2,...,n 是否構成 08/18 08:56
23F：→ yhliu: 來自一單變量常態群體的一個簡單隨機樣本. 做一個檢定不夠, 08/18 08:58
24F：→ yhliu: 至少還需要取不同間距的時間點, 再做這樣的檢定. 08/18 09:00
25F：→ yhliu: Brownian motion 可以說是除了 white noise 以外最簡單的 08/18 09:02
26F：→ yhliu: Gaussian process 了, 所以能有這麼簡單的檢定方式, 其他 08/18 09:03
27F：→ yhliu: process, 有可能甚至找不出檢定 f.-d. distribution 的方法 08/18 09:05
28F：→ yhliu: 所以檢測一個 process 是否為某一特定 process, 最好還是 08/18 09:07
29F：→ yhliu: 從該 process 的構成特性來檢測. 08/18 09:08
非常感謝您的回覆！我想再請問一下已經有了一些連續時點的樣本，在給定信心水準下，
這個(n,k)該如何選擇，並對應哪一種的 Test ，不知道是否有相關的教科書可以閱讀？
謝謝！！
※ 編輯: Glamsight (140.113.250.43), 08/18/2016 13:52:33