作者Glamsight (安稳残忆)
看板Statistics
标题[问题] 分辨Gaussian Process
时间Sun Aug 7 15:02:35 2016
各位先进好
在此我想请问关於如何检测一个Process是Gaussian Process
根据Capasso的An Introduction to Continuous-Time Stochastic
Process[1]，一个Gaussian Process的定义如下
Definition Gaussian Process
A real-Valued stochastic process (Omage,F,P,(X(t))_{t \in R+})
is called a Gussian process if, for all n \in \mathbb{N}^* and
for all (t1,...,tn) \in (R+)^n, the n-dimensional random vector
X=(X(t1),...,X(tn))^T has a multivariate Gaussian distribution,
with probability desity
1
f(x;t1,...,tn) = ------------------------*
(2pi)^(n/2)*sqrt(det(K))
{ ( 1 ) }
*exp{-(---)*(x-m)^T*K^(-1)*(x-m)}
{ ( 2 ) },
where
{ mi = E[X(ti)] \in \mathbb R, i=1,...,n,
{ Kij = Cov[X(ti),X(tj)] \in \mathbb{R},
{ i=1,...,n.
由此看来，一个Gaussian Process应该是可以看成一个random vector
X=(X1,...,Xn)^T，然後Xi分别是服从某个Gaussian Process
N(mui,sigmai)，其中(mui,sigmai)可以是与另一个(muj,sigmaj)有所不同
。
然後我的问题就来了，根据我所知关於Gaussian的检定是检定一个random
variable是不是Gaussian (Normal)的是Kolmogorov-Smirnov test。它似乎
只能在一维度时使用。
(如果恰好(mui,sigmai)=(muj,sigmaj)对於所有的(i,j)，好像也能使用？)
由於查阅的书籍似乎都是在讨论已经是在Gaussian Process时会有甚麽性质
，而没有说究竟该如何检测它。便在此想请问各位先进，一般是如何去检测
一个Process是Gaussian Process的呢？
谢谢
References
[1] Capasso, V, & Baskstein, D. (2010). An Intoduction to
Continuous-Time Stochastic Processes (2nd ed.). New
York: Springer.
--
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※ 编辑: Glamsight (111.243.205.37), 08/07/2016 15:04:12
1F：→ kangoroo: test整个process的实务上好像没见过(?) 我也蛮想知道的 08/07 16:57
2F：→ kangoroo: 还是说有什麽相关性质可以保证不用检测 之类的 08/07 16:58
3F：→ yhliu: 一个 Gaussian process 并非是一个 n-dimensional r.v., 08/07 19:46
4F：→ yhliu: 定义是说它的任意有限 n 点都是 n-dim. Gaussian(normal) 08/07 19:48
5F：→ yhliu: distributional random vector. 因此, 是不可能做完整检定 08/07 19:50
6F：→ yhliu: 的. 要嘛, 就是检查其构成条件, 再根据不同的 process 检查 08/07 19:52
7F：→ yhliu: 其是否符合有隈点分布条件. 08/07 19:54
请问"有隈点分布条件"指的是什麽？第一次见到这个名词。
8F：→ LiamIssac: 试试看Kolmogorov continuity theorem 08/09 08:48
9F：→ LiamIssac: 还有kolmogorov extension theorem 08/09 08:49
第一次听到该定理，我研究看看，谢谢！！
※ 编辑: Glamsight (36.229.232.94), 08/10/2016 21:34:12
10F：→ yhliu: 通常一个隋机过程不管是 continuous time 或 discrete time 08/18 08:28
11F：→ yhliu: 的, 都是无限点, 也就是无限维的. 因此要看其机率分布, 只 08/18 08:30
12F：→ yhliu: 能取有限个点, 例如一个无限的时间序列只取有限个时点, 看 08/18 08:32
13F：→ yhliu: 这些时点之表现(随机变数)的联合分布, 正式称呼是 08/18 08:33
14F：→ yhliu: finite-dimensional distribution. 根据定义, 一个 08/18 08:34
15F：→ yhliu: Gaussian process 就是其任意 f.-d. distribution 都是 08/18 08:35
16F：→ yhliu: multi-variate Gaussian. 所以如果要从分布特性去检定是否 08/18 08:37
17F：→ yhliu: 为 Gaussian process, 还要根据 prpcess 的特性, 取 n 组各 08/18 08:41
18F：→ yhliu: k 个时间点, 得到 n 组独立同分布的 k-dim. 随机向量的观测 08/18 08:45
19F：→ yhliu: 值, 检定它们是否为来自 k-dim. Gaussian 的随机样本. 08/18 08:47
20F：→ yhliu: 例如要检定是否为 Brownian motion, 可以取等距 n+1 个 08/18 08:51
21F：→ yhliu: 时点, 得观测值 Y(i),i=0,1,2...,n; 再取 X(i)=Y(i+1)-Y(i) 08/18 08:54
22F：→ yhliu: 再用检定单变量常态的方法检定 X(i), i=1,2,...,n 是否构成 08/18 08:56
23F：→ yhliu: 来自一单变量常态群体的一个简单随机样本. 做一个检定不够, 08/18 08:58
24F：→ yhliu: 至少还需要取不同间距的时间点, 再做这样的检定. 08/18 09:00
25F：→ yhliu: Brownian motion 可以说是除了 white noise 以外最简单的 08/18 09:02
26F：→ yhliu: Gaussian process 了, 所以能有这麽简单的检定方式, 其他 08/18 09:03
27F：→ yhliu: process, 有可能甚至找不出检定 f.-d. distribution 的方法 08/18 09:05
28F：→ yhliu: 所以检测一个 process 是否为某一特定 process, 最好还是 08/18 09:07
29F：→ yhliu: 从该 process 的构成特性来检测. 08/18 09:08
非常感谢您的回覆！我想再请问一下已经有了一些连续时点的样本，在给定信心水准下，
这个(n,k)该如何选择，并对应哪一种的 Test ，不知道是否有相关的教科书可以阅读？
谢谢！！
※ 编辑: Glamsight (140.113.250.43), 08/18/2016 13:52:33