※ 引述《empireisme (empireisme)》之銘言： : 妳今天要參加研究所面試，已知該所共有十個教授，又已知其中有三個教授必定讓你上榜 : ，七個必讓你落榜 : 又面試的教授被選中的機率均為十分之一 : 又你在大學部有十次修課的機會，如果修了A教授的課，那麼A教授就會回避面試 : 選到每一個教授的課機率都是十分之一 : 試問妳應該修幾科，才能使妳面試上榜的機率最大 : 除了暴力破解，畫樹狀圖，不知道該怎辦qq 我想了三天XDD，一開始以為是可以重複選到同一個教授的課，所以卡了很久 最後原PO說不會重複，那麼這題就簡單了，我把我的解法列出來： 假設你修K堂課，那麼你上榜的機率就是 (後面修K堂的condition就先省略)： min(3,K) P(上榜|修K堂課) = Σ P(抽到會上榜的教授 & 你修過i堂會上榜教授的課) i=0 min(3,K) = Σ P(你修過i堂會上教授的課) x i=0 P( 抽到會上榜的教授 | 你修過i堂會上榜教授的課) 先試試看舉出K=1跟K=2的情況，如果K=1： P(抽到會上榜的教授 & 你修過0堂會上榜教授的課) = P(你修過0堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過0堂會上榜教授的課) = 0.7 * 3/9 = 7/30 P(抽到會上榜的教授 & 你修過1堂會上榜教授的課) = P(你修過1堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過1堂會上榜教授的課) = 0.3 * 2/9 = 1/15 所以K=1時，會上榜的機率是 7/30 + 1/15 = 9/30 = 0.3 我們再看一下K=2的情況： P(抽到會上榜的教授 & 你修過0堂會上榜教授的課) = P(你修過0堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過0堂會上榜教授的課) = (7/10 * 6/9) * 3/8 = 7/40 P(抽到會上榜的教授 & 你修過1堂會上榜教授的課) = P(你修過1堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過1堂會上榜教授的課) = (7/10 * 3/9 + 3/10 * 7/9) * 2/8 = 7/60 P(抽到會上榜的教授 & 你修過2堂會上榜教授的課) = P(你修過2堂會上榜教授的課) * P(抽到會上榜的教授 | 你修過2堂會上榜教授的課) = (3/10 * 2/9) * 1/8 = 1/120 所以K=2時，會上榜的機率是 7/40 + 7/60 + 1/120 = 36/120 = 3/10 = 0.3 最後，根據K=1跟K=2的情況，如果能夠看出一些端倪，就可以把式子列出來了 因為會上榜的教授只有三個，所以你最多只需要考慮四種情況 分別是修到0堂、1堂、2堂、3堂會上榜教授的課 這時候令X為選到會上榜教授的堂數，很明顯地 X是總合次數為10，成功總次數為3，失敗總次數為7的超幾何分配隨機變數 3CX * 7C(K-X) 另外，X取的個數則為K，其pmf, f(X) 可以寫成 ------------------ 10CK 所以可以把上面機率寫成下面這樣： min(3,K) P(上榜|修K堂課) = Σ P(你修過i堂會上教授的課 | 修K堂課) x i=0 P( 抽到會上榜的教授 | 你修過i堂會上榜教授的課 & 修K堂課) min(3,K) = Σ P(X = i | 修K堂課) * (3-i) / (10-K) i=0 min(3,K) 3Ci * 7C(K-i) = Σ -------------------- * (3-i) / (10-K) i=0 10CK 3C0 * 7CK 3C1 * 7C(K-1) = ------------- * 3/(10-K) + ----------------- * 2/(10-K) 10CK 10CK 3C2 * 7C(K-2) + ------------------ * 1/(10-K) * I(K >= 2) 10CK (I(˙)為指標函數，其argument為TRUE，則為1，否則為0) 3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2) * I(K>= 2) = ----------------------------------------------------- 10CK * (10-K) Note: i=3，上榜機率為0，所以就沒列了 Note: 修0堂課上榜機率就自然是0.3了，這個應該滿trivial 根據帕斯卡公式： nCr = (n-1)Cr + (n-1)C(r-1) K >= 2的情況下，分子部分可以這樣化減：： 3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2) = 3 * (7CK + 7C(K-1)) + 3 * (7C(K-1) + 7C(K-2)) = 3 * 8CK + 3 * 8C(K-1) = 3 * 9CK 而分母可以化成： 10CK * (10-K) = 10 / (10-K) * 9CK * (10-K) = 10 * 9CK 所以K>=2的情況下，P(上榜|修K堂課) = 0.3 至於K = 1就帶入就好，0.7 * 3/9 + 0.3 * 2/9 = 0.3 (其實就是上面列舉) 因此，你不管修幾堂課(0~9堂課)，上榜機率都相同。 PS: 這題沒有想通隨機變數那裏也是可以解，不過可能要花點精神才列的出來式子 --

※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.109.73.231 ※ 文章網址: https://webptt.com/m.aspx?n=bbs/Statistics/M.1459847862.A.F78.html 這是我想到的唯一方法，不知道有沒有更好的方法QQ，等高人了XDDD K < 10是我忘記補上了，反正我結論是K = 0~9都一樣，謝謝指正。 ※ 編輯: celestialgod (180.218.152.118), 04/05/2016 20:39:53