※ 引述《empireisme (empireisme)》之铭言： : 你今天要参加研究所面试，已知该所共有十个教授，又已知其中有三个教授必定让你上榜 : ，七个必让你落榜 : 又面试的教授被选中的机率均为十分之一 : 又你在大学部有十次修课的机会，如果修了A教授的课，那麽A教授就会回避面试 : 选到每一个教授的课机率都是十分之一 : 试问你应该修几科，才能使你面试上榜的机率最大 : 除了暴力破解，画树状图，不知道该怎办qq 我想了三天XDD，一开始以为是可以重复选到同一个教授的课，所以卡了很久 最後原PO说不会重复，那麽这题就简单了，我把我的解法列出来： 假设你修K堂课，那麽你上榜的机率就是 (後面修K堂的condition就先省略)： min(3,K) P(上榜|修K堂课) = Σ P(抽到会上榜的教授 & 你修过i堂会上榜教授的课) i=0 min(3,K) = Σ P(你修过i堂会上教授的课) x i=0 P( 抽到会上榜的教授 | 你修过i堂会上榜教授的课) 先试试看举出K=1跟K=2的情况，如果K=1： P(抽到会上榜的教授 & 你修过0堂会上榜教授的课) = P(你修过0堂会上榜教授的课) * P(抽到会上榜的教授 | 你修过0堂会上榜教授的课) = 0.7 * 3/9 = 7/30 P(抽到会上榜的教授 & 你修过1堂会上榜教授的课) = P(你修过1堂会上榜教授的课) * P(抽到会上榜的教授 | 你修过1堂会上榜教授的课) = 0.3 * 2/9 = 1/15 所以K=1时，会上榜的机率是 7/30 + 1/15 = 9/30 = 0.3 我们再看一下K=2的情况： P(抽到会上榜的教授 & 你修过0堂会上榜教授的课) = P(你修过0堂会上榜教授的课) * P(抽到会上榜的教授 | 你修过0堂会上榜教授的课) = (7/10 * 6/9) * 3/8 = 7/40 P(抽到会上榜的教授 & 你修过1堂会上榜教授的课) = P(你修过1堂会上榜教授的课) * P(抽到会上榜的教授 | 你修过1堂会上榜教授的课) = (7/10 * 3/9 + 3/10 * 7/9) * 2/8 = 7/60 P(抽到会上榜的教授 & 你修过2堂会上榜教授的课) = P(你修过2堂会上榜教授的课) * P(抽到会上榜的教授 | 你修过2堂会上榜教授的课) = (3/10 * 2/9) * 1/8 = 1/120 所以K=2时，会上榜的机率是 7/40 + 7/60 + 1/120 = 36/120 = 3/10 = 0.3 最後，根据K=1跟K=2的情况，如果能够看出一些端倪，就可以把式子列出来了 因为会上榜的教授只有三个，所以你最多只需要考虑四种情况 分别是修到0堂、1堂、2堂、3堂会上榜教授的课 这时候令X为选到会上榜教授的堂数，很明显地 X是总合次数为10，成功总次数为3，失败总次数为7的超几何分配随机变数 3CX * 7C(K-X) 另外，X取的个数则为K，其pmf, f(X) 可以写成 ------------------ 10CK 所以可以把上面机率写成下面这样： min(3,K) P(上榜|修K堂课) = Σ P(你修过i堂会上教授的课 | 修K堂课) x i=0 P( 抽到会上榜的教授 | 你修过i堂会上榜教授的课 & 修K堂课) min(3,K) = Σ P(X = i | 修K堂课) * (3-i) / (10-K) i=0 min(3,K) 3Ci * 7C(K-i) = Σ -------------------- * (3-i) / (10-K) i=0 10CK 3C0 * 7CK 3C1 * 7C(K-1) = ------------- * 3/(10-K) + ----------------- * 2/(10-K) 10CK 10CK 3C2 * 7C(K-2) + ------------------ * 1/(10-K) * I(K >= 2) 10CK (I(˙)为指标函数，其argument为TRUE，则为1，否则为0) 3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2) * I(K>= 2) = ----------------------------------------------------- 10CK * (10-K) Note: i=3，上榜机率为0，所以就没列了 Note: 修0堂课上榜机率就自然是0.3了，这个应该满trivial 根据帕斯卡公式： nCr = (n-1)Cr + (n-1)C(r-1) K >= 2的情况下，分子部分可以这样化减：： 3 * 7CK + 6 * 7C(K-1) + 3 * 7C(K-2) = 3 * (7CK + 7C(K-1)) + 3 * (7C(K-1) + 7C(K-2)) = 3 * 8CK + 3 * 8C(K-1) = 3 * 9CK 而分母可以化成： 10CK * (10-K) = 10 / (10-K) * 9CK * (10-K) = 10 * 9CK 所以K>=2的情况下，P(上榜|修K堂课) = 0.3 至於K = 1就带入就好，0.7 * 3/9 + 0.3 * 2/9 = 0.3 (其实就是上面列举) 因此，你不管修几堂课(0~9堂课)，上榜机率都相同。 PS: 这题没有想通随机变数那里也是可以解，不过可能要花点精神才列的出来式子 --

※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc), 来自: 140.109.73.231 ※ 文章网址: https://webptt.com/cn.aspx?n=bbs/Statistics/M.1459847862.A.F78.html 这是我想到的唯一方法，不知道有没有更好的方法QQ，等高人了XDDD K < 10是我忘记补上了，反正我结论是K = 0~9都一样，谢谢指正。 ※ 编辑: celestialgod (180.218.152.118), 04/05/2016 20:39:53