原題目： X ~ Gamma(α,λ)，λ_mle = 1/xbar 試問(1)λ_mle是否為λ之不偏估計量? (2)λ_mle是否為λ之一致估計量? 在解題之前，我們先來看E(1/X)為何？ ∞ λ^α E(1/X) = ∫ (1/x)*----- *x^(α-1)*e^(-λx)dx 0 Γ(α) λ^α ∞ = ------*∫ (1/x)*x^(α-1)*e^(-λx)dx Γ(α) 0 λ^α ∞ = ------*∫ x^(α-2)*e^(-λx)dx Γ(α) 0 ^^^^^ α-2 = (α-1)-1 λ^α Γ(α-1) λ = ------*-------- = ----- Γ(α) λ^(α-1) α-1 同理 E(1/X^2) 也可以用這樣的算法算出來。 所以 Var(1/X) 就只是順水推舟而已。 Σx_i i.i.d 最後，若xbar = ----- , i=1,2,3...n，其中x_i ～ gamma(α,λ) n 則 xbar ~ gamma(nα,nλ) 這是Gamma分配的一個小小的推廣。至於證明用mgf就可以搞定，我就不寫了。 有了這些提示，我想不偏性跟一致性應該就很容易下手了。 哪邊有錯誤，還請版友指正。 心得： 因為不會用LaTeX語法，只好用BBS排版， 算是看了數學版那串zeta/gamma的筆仗的小小收穫。 --

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