原题目： X ~ Gamma(α,λ)，λ_mle = 1/xbar 试问(1)λ_mle是否为λ之不偏估计量? (2)λ_mle是否为λ之一致估计量? 在解题之前，我们先来看E(1/X)为何？ ∞ λ^α E(1/X) = ∫ (1/x)*----- *x^(α-1)*e^(-λx)dx 0 Γ(α) λ^α ∞ = ------*∫ (1/x)*x^(α-1)*e^(-λx)dx Γ(α) 0 λ^α ∞ = ------*∫ x^(α-2)*e^(-λx)dx Γ(α) 0 ^^^^^ α-2 = (α-1)-1 λ^α Γ(α-1) λ = ------*-------- = ----- Γ(α) λ^(α-1) α-1 同理 E(1/X^2) 也可以用这样的算法算出来。 所以 Var(1/X) 就只是顺水推舟而已。 Σx_i i.i.d 最後，若xbar = ----- , i=1,2,3...n，其中x_i ～ gamma(α,λ) n 则 xbar ~ gamma(nα,nλ) 这是Gamma分配的一个小小的推广。至於证明用mgf就可以搞定，我就不写了。 有了这些提示，我想不偏性跟一致性应该就很容易下手了。 哪边有错误，还请版友指正。 心得： 因为不会用LaTeX语法，只好用BBS排版， 算是看了数学版那串zeta/gamma的笔仗的小小收获。 --

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