作者anovachen ( )
看板Statistics
標題[問題] Possion(1/θ)求θ的不偏估計量
時間Sat Nov 16 22:15:12 2013
X~Poisson(1/θ),
是否存在估計θ的不偏估計量T(X)？
依定義，若此T(X)存在:
∞
ET(X)=exp(-1/θ)Σ T(X)(1/θ)^x / x! = θ
x=0
∞
→Σ T(X)(1/θ)^(x+1) / x!=exp(1/θ)
x=0
嘗試找T(X)卻找錯 = =
後來想用power series 的唯一性證明，
(參考:Rudin數學分析原理的Theorem 8.5)
但是...T(X)是一個固定的值？還是會隨x變動而改變的值？
當這個級數展開來，x=0和x=1,....n時的T(X)都是同樣的值嗎？
T(X)應該是個函數吧？
那還能用Power series的唯一性嗎？
---
那個定理好像是：
∞ ∞
Σa_n x^n =Σb_n x^n
n=0 n=0
iff a_n=b_n
所以係數的部分也可以是個隨n變化的值？
這樣我把T(X)/x!當成a_n就好了??
∞
由於exp(1/θ)只能展開成Σ(1/θ)^x / x!
x=0
∞
所以ΣT(X)(1/θ)^(x+1) / x!
x=0
必無法收斂至exp(1/θ)？
因此此一不偏的估計量不存在？
※ 編輯: anovachen 來自: 42.74.239.141 (11/17 19:19)
1F：→ rockken:不知道有沒有算錯 T(X)= e^(1/θ)/[(e^1/θ-1)*(1+x)] 11/17 21:27
T(X)不能包含θ，
既然是估計量，自然是在不知道θ的情況下估計θ。
※ 編輯: anovachen 來自: 42.70.158.84 (11/18 08:29)
2F：→ rockken:Sorry，太久沒算了忘了。你是看看T(0)=0 T(X)=1/(X+1)。 11/18 16:44
3F：→ yhliu:這等同於 X～Poisson(λ), 問 1/λ 有沒有不偏估計? 11/19 08:34
4F：→ yhliu:若有, 則存在 T(X) 使 E[T(X)] = 1/λ. 這又相當於是否存在 11/19 08:35
5F：→ yhliu:冪級數 Σa_k λ^k 收斂至 e^{λ}/λ. 答案應是: 不存在. 11/19 08:37
謝謝!
※ 編輯: anovachen 來自: 111.242.237.57 (11/28 17:35)