作者anovachen ( )
看板Statistics
标题[问题] Possion(1/θ)求θ的不偏估计量
时间Sat Nov 16 22:15:12 2013
X~Poisson(1/θ),
是否存在估计θ的不偏估计量T(X)？
依定义，若此T(X)存在:
∞
ET(X)=exp(-1/θ)Σ T(X)(1/θ)^x / x! = θ
x=0
∞
→Σ T(X)(1/θ)^(x+1) / x!=exp(1/θ)
x=0
尝试找T(X)却找错 = =
後来想用power series 的唯一性证明，
(参考:Rudin数学分析原理的Theorem 8.5)
但是...T(X)是一个固定的值？还是会随x变动而改变的值？
当这个级数展开来，x=0和x=1,....n时的T(X)都是同样的值吗？
T(X)应该是个函数吧？
那还能用Power series的唯一性吗？
---
那个定理好像是：
∞ ∞
Σa_n x^n =Σb_n x^n
n=0 n=0
iff a_n=b_n
所以系数的部分也可以是个随n变化的值？
这样我把T(X)/x!当成a_n就好了??
∞
由於exp(1/θ)只能展开成Σ(1/θ)^x / x!
x=0
∞
所以ΣT(X)(1/θ)^(x+1) / x!
x=0
必无法收敛至exp(1/θ)？
因此此一不偏的估计量不存在？
※ 编辑: anovachen 来自: 42.74.239.141 (11/17 19:19)
1F：→ rockken:不知道有没有算错 T(X)= e^(1/θ)/[(e^1/θ-1)*(1+x)] 11/17 21:27
T(X)不能包含θ，
既然是估计量，自然是在不知道θ的情况下估计θ。
※ 编辑: anovachen 来自: 42.70.158.84 (11/18 08:29)
2F：→ rockken:Sorry，太久没算了忘了。你是看看T(0)=0 T(X)=1/(X+1)。 11/18 16:44
3F：→ yhliu:这等同於 X～Poisson(λ), 问 1/λ 有没有不偏估计? 11/19 08:34
4F：→ yhliu:若有, 则存在 T(X) 使 E[T(X)] = 1/λ. 这又相当於是否存在 11/19 08:35
5F：→ yhliu:幂级数 Σa_k λ^k 收敛至 e^{λ}/λ. 答案应是: 不存在. 11/19 08:37
谢谢!
※ 编辑: anovachen 来自: 111.242.237.57 (11/28 17:35)