作者anovachen ( )
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標題Re: [問題] 動差生成函數與其極限
時間Sun Aug 25 01:22:13 2013
1F：推 ksherry:你可以對Mx(t)展開後 就知道一次微分後不會出現這種情形08/11 15:22
如果Mx(t)在t=0不連續，還能在0這個點做泰勒展開嗎？
2F：→ yhliu:Mx(t) 在 0 當然也是可微分的, 只是不是帶 t≠0 時的公式.08/12 16:02
3F：→ yhliu:但 Mx(t) 若存在於 (-h,h), 則 Mx(t) 是無限階連續可微的,08/12 16:02
4F：→ yhliu:也就是說 Mx'(0) 除了帶定義式計算以外, 也可以用 Mx'(t),08/12 16:04
5F：→ yhliu:t→0 之極限得到.08/12 16:04
6F：→ yhliu:至於 Taylor's expansion, 那是結果.08/12 16:05
如果Mx'(t)在(-h,h)連續，那麼lim(t->0)Mx'(t)=Mx'(0)=E(X)
(連續代表該點極限值等於函數值)
可是如果在t=0的點沒有值，(也就是Mx'(0)不存在)
那要怎麼證明lim(t->0)Mx'(t)=E(X) ??
我目前參考書上證明E(X)=Mx'(t)|t=0的過程，再予以修改看看...
積分範圍全都是(-∞,∞)
E(X)
=∫xf(x)dx ...(1)
=lim(t->0)∫xexp(tx)f(x)dx ...(2)
=lim(t->0)∫d/dt(exp(tx))f(x)dx
=lim(t->0)Mx'(t)
已知lim(t->0)exp(tx)=1，
但能因此宣稱從(1)到(2)的過程是正確的嗎？
感謝回答！
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◆ From: 111.255.0.245
7F：→ yhliu:不可能不存在! 只是不能用 t≠0 時的公式去套. 09/02 10:09
8F：→ yhliu:別理那參考書的 "證明"! 正確的證明是在 Lebesgue 積分下考 09/02 10:11
9F：→ yhliu:慮的; 即使用黎曼瑕積分, 也需要有 unifom convergence 方面 09/02 10:12
10F：→ yhliu:的支持. 再者, 就算忽略 uniform convergence 的條件, E[X] 09/02 10:13
11F：→ yhliu:是等於 Mx'(0), 而不是去證明 E[X] = lim_{t→0} Mx'(t). 09/02 10:14