作者anovachen ( )
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标题Re: [问题] 动差生成函数与其极限
时间Sun Aug 25 01:22:13 2013
1F：推 ksherry:你可以对Mx(t)展开後 就知道一次微分後不会出现这种情形08/11 15:22
如果Mx(t)在t=0不连续，还能在0这个点做泰勒展开吗？
2F：→ yhliu:Mx(t) 在 0 当然也是可微分的, 只是不是带 t≠0 时的公式.08/12 16:02
3F：→ yhliu:但 Mx(t) 若存在於 (-h,h), 则 Mx(t) 是无限阶连续可微的,08/12 16:02
4F：→ yhliu:也就是说 Mx'(0) 除了带定义式计算以外, 也可以用 Mx'(t),08/12 16:04
5F：→ yhliu:t→0 之极限得到.08/12 16:04
6F：→ yhliu:至於 Taylor's expansion, 那是结果.08/12 16:05
如果Mx'(t)在(-h,h)连续，那麽lim(t->0)Mx'(t)=Mx'(0)=E(X)
(连续代表该点极限值等於函数值)
可是如果在t=0的点没有值，(也就是Mx'(0)不存在)
那要怎麽证明lim(t->0)Mx'(t)=E(X) ??
我目前参考书上证明E(X)=Mx'(t)|t=0的过程，再予以修改看看...
积分范围全都是(-∞,∞)
E(X)
=∫xf(x)dx ...(1)
=lim(t->0)∫xexp(tx)f(x)dx ...(2)
=lim(t->0)∫d/dt(exp(tx))f(x)dx
=lim(t->0)Mx'(t)
已知lim(t->0)exp(tx)=1，
但能因此宣称从(1)到(2)的过程是正确的吗？
感谢回答！
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※ 发信站: 批踢踢实业坊(ptt.cc)
◆ From: 111.255.0.245
7F：→ yhliu:不可能不存在! 只是不能用 t≠0 时的公式去套. 09/02 10:09
8F：→ yhliu:别理那参考书的 "证明"! 正确的证明是在 Lebesgue 积分下考 09/02 10:11
9F：→ yhliu:虑的; 即使用黎曼瑕积分, 也需要有 unifom convergence 方面 09/02 10:12
10F：→ yhliu:的支持. 再者, 就算忽略 uniform convergence 的条件, E[X] 09/02 10:13
11F：→ yhliu:是等於 Mx'(0), 而不是去证明 E[X] = lim_{t→0} Mx'(t). 09/02 10:14