作者anovachen (囧)
看板Statistics
標題[問題] 動差生成函數與其極限
時間Fri Aug 9 01:44:24 2013
均勻分配的mgf: Mx(t)=[exp(bt)-exp(at)]/[(b-a)t]
由於微分一次後，t仍然不得為零，
否則分母會變成零...
某統計老師說可以取極限，
所以我就用羅畢達定理求出limit(t->0) Mx'(t)
確實等於期望值。
但是，為什麼對微分過的mgf取極限能算出期望值呢？
畢竟在Mx'(t)的定義域是不包含0的。
要這樣做的話，不就要假設E(X)=limit(t->0) Mx'(t)
而對於連續且於t=0有定義的Mx'(t)，才能進一步求得
E(X)=Mx'(0) (大部分機率分配的算法)
假設今天有個mgf微分一次後長這樣：
Mx'(t)= n, n不等於0, if t=0
t^2 , if t不等於0
這樣limit(t->0) Mx'(t) 不等於 Mx'(0)
哪個才是E(X)??
還是說，上述mgf根本不符合mgf的性質或定義？
根本不會有長成這副德性的mgf？
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◆ From: 1.173.163.140
1F：推 ksherry:你可以對Mx(t)展開後 就知道一次微分後不會出現這種情形 08/11 15:22
2F：→ yhliu:Mx(t) 在 0 當然也是可微分的, 只是不是帶 t≠0 時的公式. 08/12 16:02
3F：→ yhliu:但 Mx(t) 若存在於 (-h,h), 則 Mx(t) 是無限階連續可微的, 08/12 16:02
4F：→ yhliu:也就是說 Mx'(0) 除了帶定義式計算以外, 也可以用 Mx'(t), 08/12 16:04
5F：→ yhliu:t→0 之極限得到. 08/12 16:04
6F：→ yhliu:至於 Taylor's expansion, 那是結果. 08/12 16:05