作者anovachen (囧)
看板Statistics
標題Re: [問題] X,Y~exp(w) 求X+Y, X-Y ~?
時間Fri Jun 14 02:21:21 2013
(1)
X ~ Exp(β), Y ~ Exp(β), Z=X+Y
X>=0, Y>=0
證明Z ~ Gamma(2, β)
另Z=X+Y, U=Y, |J|=1
fzu(z,u)=fxy(z-u,u)
=(1/β^2)exp(-z/β)
因為U>=0, Z-U=X>=0，
所以u的積分範圍是從0到z，
fz(z)=(積0到z)∫(1/β^2)exp(-z/β)du
=(1/β^2)exp(-z/β)u (代入u=z到0)
=(1/β^2)*z*exp(-z/β)
由於Γ(2)=(2-1)!=1
所以fz(z)可視同Gamma(2,β)的pdf，
因此Z~Gamma(2,β)
(2)
X ~ Exp(β), Y ~ Exp(β), W=X-Y
X>=0, Y>=0
證明W ~ Laplace(0, β)
令W=X-Y，V=Y，|J|=1。
此時-∞<W<∞, V>=0
fwv(w,v)=(1/β)exp[(-w-v)/β]}*{(1/β)exp(-v/β)
=(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β)
接下來求邊際機率，
積分要分兩部分探討：
W<0和W>=0，
如果W>=0：
(積0到∞)∫(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β) dv
令u=-2y/β，變數變換一下：
(積-∞到0)∫(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)du
=(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)代入u=-∞到0，
=0-(-1/2β)exp(-w/β)
=(1/2β)exp(-w/β)
當W<0，
因為X=W+V>=0，所以V>=-W，
要改成(積-w到∞)∫(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β) dv
令u=-2y/β，變數變換一下：
(積-∞到2w/β)∫(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)du
=(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)代入u=-∞到2w/β，
=0-(-1/2β)exp(w/β)
=(1/2β)exp(w/β)
因此可以合併為：
fw(w)=(1/2β)exp(|w-0|/β)
所以W~Laplace(0,β)
1F：推 subtropical:我後來是用lack of memory property去解釋 06/14 05:55
2F：→ subtropical:X-Y>0 ~ X X-Y<0 ~-Y 不過沒辦法"證明" 06/14 05:56
3F：→ subtropical:Jacobian的地方我看得懂 不過課堂也還沒教到:( 06/14 05:56
4F：→ yangchichuan:Laplace沒有要求w>0 積分範圍要考慮x>y與x<y情況 06/14 10:43
5F：→ anovachen:To:1樓，無記憶性不是這樣用的... 06/14 18:49
※ 編輯: anovachen 來自: 1.173.137.236 (06/16 01:05)
6F：→ anovachen:已修正證明過程，應該對吧(?) 06/16 01:05
7F：推 subtropical:感謝您的回答 我完全沒立場去看正確與否:P 06/16 08:06
※ 編輯: anovachen 來自: 1.173.137.236 (06/16 18:42)
指數分布有兩種表達pdf的方法：β和λ系統。λ=1/β
然後Laplace分配在張翔的書上是寫DE(β,θ)
所以我原本寫W~Laplace(β,0)
但維基百科寫的是X-Y ~ Laplace(0,1/λ) (相當於Laplace(0,β)
怕造成混淆，再修正一下。
我覺得《提綱挈領學統計》第五章隨機變數變換的部分，
你可以看一下...
不過最困難的是找值域，
我總是忘記雙變數值域互相牽制，要分開討論的情況...
※ 編輯: anovachen 來自: 1.173.137.236 (06/16 18:52)