作者anovachen (囧)
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标题Re: [问题] X,Y~exp(w) 求X+Y, X-Y ~?
时间Fri Jun 14 02:21:21 2013
(1)
X ~ Exp(β), Y ~ Exp(β), Z=X+Y
X>=0, Y>=0
证明Z ~ Gamma(2, β)
另Z=X+Y, U=Y, |J|=1
fzu(z,u)=fxy(z-u,u)
=(1/β^2)exp(-z/β)
因为U>=0, Z-U=X>=0，
所以u的积分范围是从0到z，
fz(z)=(积0到z)∫(1/β^2)exp(-z/β)du
=(1/β^2)exp(-z/β)u (代入u=z到0)
=(1/β^2)*z*exp(-z/β)
由於Γ(2)=(2-1)!=1
所以fz(z)可视同Gamma(2,β)的pdf，
因此Z~Gamma(2,β)
(2)
X ~ Exp(β), Y ~ Exp(β), W=X-Y
X>=0, Y>=0
证明W ~ Laplace(0, β)
令W=X-Y，V=Y，|J|=1。
此时-∞<W<∞, V>=0
fwv(w,v)=(1/β)exp[(-w-v)/β]}*{(1/β)exp(-v/β)
=(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β)
接下来求边际机率，
积分要分两部分探讨：
W<0和W>=0，
如果W>=0：
(积0到∞)∫(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β) dv
令u=-2y/β，变数变换一下：
(积-∞到0)∫(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)du
=(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)代入u=-∞到0，
=0-(-1/2β)exp(-w/β)
=(1/2β)exp(-w/β)
当W<0，
因为X=W+V>=0，所以V>=-W，
要改成(积-w到∞)∫(1/β^2)exp(-w/β)exp(-2v/β) dv
令u=-2y/β，变数变换一下：
(积-∞到2w/β)∫(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)du
=(-1/2β)exp(-w/β)exp(u)代入u=-∞到2w/β，
=0-(-1/2β)exp(w/β)
=(1/2β)exp(w/β)
因此可以合并为：
fw(w)=(1/2β)exp(|w-0|/β)
所以W~Laplace(0,β)
1F：推 subtropical:我後来是用lack of memory property去解释 06/14 05:55
2F：→ subtropical:X-Y>0 ~ X X-Y<0 ~-Y 不过没办法"证明" 06/14 05:56
3F：→ subtropical:Jacobian的地方我看得懂 不过课堂也还没教到:( 06/14 05:56
4F：→ yangchichuan:Laplace没有要求w>0 积分范围要考虑x>y与x<y情况 06/14 10:43
5F：→ anovachen:To:1楼，无记忆性不是这样用的... 06/14 18:49
※ 编辑: anovachen 来自: 1.173.137.236 (06/16 01:05)
6F：→ anovachen:已修正证明过程，应该对吧(?) 06/16 01:05
7F：推 subtropical:感谢您的回答 我完全没立场去看正确与否:P 06/16 08:06
※ 编辑: anovachen 来自: 1.173.137.236 (06/16 18:42)
指数分布有两种表达pdf的方法：β和λ系统。λ=1/β
然後Laplace分配在张翔的书上是写DE(β,θ)
所以我原本写W~Laplace(β,0)
但维基百科写的是X-Y ~ Laplace(0,1/λ) (相当於Laplace(0,β)
怕造成混淆，再修正一下。
我觉得《提纲挈领学统计》第五章随机变数变换的部分，
你可以看一下...
不过最困难的是找值域，
我总是忘记双变数值域互相牵制，要分开讨论的情况...
※ 编辑: anovachen 来自: 1.173.137.236 (06/16 18:52)