作者gonarain1231 (衝刺哥)
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標題Re: [考題] 101司法特考統計學-計算型二誤差的機率(檢定)
時間Sat May 11 16:03:08 2013
※ 引述《wwfc (月老工讀生)》之銘言：
: ※ 引述《scpxxx (淚浸濕了鍵盤)》之銘言：
: : 公職王提供的考題與解答：http://ppt.cc/RJu4
: : 請看第二題擲六次骰子(該骰子出現奇數點機率為0.9)，
: : 若六次都出現奇數，則判斷該骰子並非公平，
: : 問用上述的檢查方法(判斷法則)時，
: : 出現型二誤差的機率為何？
: type II error 根據定義，為 Pr{do not reject H_0 | H_1 is ture}
: 其中H_0為虛無假設，H_1為對立假設。
: 若定義 X 為擲六次出現奇數點的次數，p為此骰子出現奇數點的機率，
: H_0: p = 0.5 vs. H_1: p = 0.9
: type II error:
: Pr{ X<6 | p = 0.9} =
: 1 - Pr{ X=6 | p = 0.9} =
: 1 - c(6,6)*(0.9)^6*(1-0.9)^0 =
: 1 - 0.5314 = 0.4686
: 跟scp大算的是一樣的答案
: : 公職王給的答案似乎是將二項分配去近似常態分配來做計算
: : 我的疑問是這題二項分配的樣本蠻小的(n=6)，而p=0.9
: : 那雖然 np=5.4>5 但 n(1-p)=0.6 < 5
: : n(1-p)<5 這樣還能用常態分配去近似嗎
: : 還是要以純二項分配的方法去做計算呢?
: : 我試著用二項分配去解題
: : 計算如下：http://i.imgur.com/PVGuG6N.jpg
: : 我自己算出來的答案和公職王的參考答案差蠻多的
: : 想請問我這樣算對嗎？
: : 有沒有哪裡有問題或是觀念不對的地方?
: : 謝謝
: 若是用中央極限定理來解題，
: X ~ Bin(6 , 0.9) → E(X) = 6*0.9 = 5.4
: Var(X) = 6*0.9*(1-0.9) = 0.54
: Pr{ X<6 | p = 0.9} = Pr{X=0} + Pr{X=1} + Pr{X=2} + ... Pr{X=5} =
: Pr{-0.5 < X < 5.5}= [加入連續型修正]
c
Pr(X < 6) = Pr(X ≦ 5) = Pr(X ≦ 5.5) (不影響答案)
: Pr{ (-0.5-5.4)/√0.54 < X-E(X)/√Var(X) < (5.5-5.4)/√0.54} =
: Pr{ -8.029 < N(0,1) < 0.136} =
: Φ(0.136) - Φ(-8.029) = 0.5541
: 但不才認為Binomial distribution本身雖然可以用CLT來做推估，
: 但在 n=6 的情況下，樣本數太小並不適合。
Binomial算出來的是真實值，在n大時因階乘不好計算，或計算太多項時
才使用不同的近似方式(Poisson or Normal，視參數狀況而定)
本題無指定計算方式下，應以Binomial之計算結果較為恰當
: ###########################################################
: 另外我想和版上高手們討論一下第三題，題目簡述如下：
: 50名學生回答A、B兩問題，56%的人答對A題，，72%的答對B題，40%的人兩題都答對，
: 請檢定兩題的難度是否有差異？
: Hint: 若難度相同，則兩題的答對率相同
: 我認為他題目出的不好，這是一個典型的比較兩者比例是否相同的檢定，
: 但如果是題目的情境，則會在計算Pooled sample proportion上出現問題，
: 一般的Pooled sample proportion會用
: (n1*p1+ n2*p2)/(n1+n2)來計算。其中n1, n2是分別答A題與B題的人數，彼此獨立。
: 但在這題的情境中，該如何定義Pooled sample proportion就是個問題，
: 公職王的解答是用
: 答對A題卻答錯B題的人當作p1，
: 答對B題卻答錯A題的人當作p2，
: 來檢定 p1 = p2，
: 我認為這種作法不妥，
: 但卻說不出個所以然，
: 想跟大家討論一下，
: 這種作法是否可行？或是其不適合之處。
50名學生均有作答A、B兩題
No. A B (1=答對，0=答錯)
1 1 0
2 1 1
3 1 0
4 0 1
5 0 0
. . .
. . .
50 1 1
(A、B題答對率不會互相影響)
既然是考慮答對率，pooled sample p計算不應剔除"兩題均答對"之樣本
(有答對就應計入)
另提供列連表呈現如下:
A B
-------------------
答 | | |
| 28 | 36 |
對 | (56%) | (72%) |
-------------------
答 | | |
| 22 | 14 |
錯 | | |
-------------------
n = 50
^ 28 + 36
p = --------- = 64%
50 + 50
e11 = 50 * 64% = 32
(28 - 32)^2 (36 - 32)^2 (22 - 18)^2 (14 - 18)^2
χ^2 = ------------- + ------------- + ------------- + -------------
32 32 18 18
= 2.78 (compare to χ^2(0.95, df = 1) = 3.84, do not reject H0)
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